Question

10．若a和b是計算機在區(qū)間（0，3）上產生的隨機數，那么函數f（x）=lg（ax²+4x+4b） 的值域為R的概率為$\frac{1+2ln3}{9}$．

Answer 1

分析 運用函數f（x）=lg（ax²+4x+4b）的值域為R（實數集），求出a，b的范圍，再由幾何概概型的概率公式，即可得到．

解答 解：由已知，a和b是計算機在區(qū)間（0，3）上產生的隨機數，對應區(qū)域的面積為4，
因為函數f（x）=lg（ax²+4x+4b）的值域為R（實數集），所以（ax²+4x+4b）能取得所有的正數，
所以$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=16-16ab≥0}\end{array}\right.$，解得ab≤1且a＞0，
對應的區(qū)域面積為
9-${∫}_{\frac{1}{3}}^{3}$（3-$\frac{1}{a}$）da=9-（3a-lna）|${\;}_{\frac{1}{3}}^{3}$=1+2ln3；
由幾何概型的公式得：$\frac{1+2ln3}{9}$
故答案為：$\frac{1+2ln3}{9}$

點評 本題考查的知識點是幾何概型的意義，關鍵是要找出（0，3）上產生兩個隨機數a和b所對就圖形的面積，幾何概型的概率估算公式中的“幾何度量”，可以為線段長度、面積、體積等，而且這個“幾何度量”只與“大小”有關，而與形狀和位置無關．