Question

15．已知橢圓M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的一個焦點為F（-1，0），離心率e=$\frac{1}{2}$左右頂點分別為A、B，經(jīng)過點F的直線l與橢圓M交于C、D兩點（與A、B不重合）．
（I）求橢圓M的方程；
（II）記△ABC與△ABD的面積分別為S₁和S₂，求|S₁-S₂|的最大值，并求此時l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由焦點F坐標(biāo)可求c值，根據(jù)離心率e及a，b，c的平方關(guān)系可求得a值；
（Ⅱ）當(dāng)直線l不存在斜率時可得，|S₁-S₂|=0；當(dāng)直線l斜率存在（顯然k≠0）時，設(shè)直線方程為y=k（x+1）（k≠0），與橢圓方程聯(lián)立消y可得x的方程，根據(jù)韋達(dá)定理可用k表示x₁+x₂，x₁x₂，|S₁-S₂|可轉(zhuǎn)化為關(guān)于x₁，x₂的式子，進(jìn)而變?yōu)殛P(guān)于k的表達(dá)式，再用基本不等式即可求得其最大值．

解答 解：（I）設(shè)橢圓M的半焦距為c，即c=1，（1分）
又離心率e=$\frac{1}{2}$，即$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$
∴a=2，b²=a²-c²=3（3分）
∴橢圓M的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$（4分）
（II）設(shè)直線l的方程為x=my-1，C（x₁，y₂），D（x₂，y₂），聯(lián)立方程組
$\left\{\begin{array}{l}{x=my-1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，消去x得，（3m²+4）y²-6my-9=0（6分）
∴y₁+y₂=$\frac{6m}{3{m}^{2}+4}$，y₁y₂=-$\frac{9}{3{m}^{2}+4}$＜0（7分）
S₁=S_△ABC=$\frac{1}{2}$|AB|•|y₁|，S₂=S_△ABD=$\frac{1}{2}$|AB|•|y₂|，且y₁，y₂異號
∴|S₁-S₂|=$\frac{1}{2}$|AB|•|y₁+y₂|=$\frac{1}{2}$×4×|y₁+y₂|=$\frac{12|m|}{3{m}^{2}+4}$=$\frac{12}{3m+\frac{4}{|m|}}$（9分）
∵3|m|+$\frac{4}{|m|}$≥4$\sqrt{3}$，
當(dāng)且僅當(dāng)3|m|=$\frac{4}{|m|}$，即m=±$\frac{2}{\sqrt{3}}$時，等號成立
∴|S₁-S₂|的最大值為$\frac{12}{4\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$（11分）
此時l的方程為$\sqrt{3}$x±2y+$\sqrt{3}$=0（12分）

點評 本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，考查學(xué)生綜合運用知識分析問題解決問題的能力，屬于中檔題．