Question

10．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$過點(diǎn)$（{1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$，且焦距為2．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)過點(diǎn)P（-2，0）的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，點(diǎn)$G（{0，-\frac{1}{2}}）$，如果|GA|=|GB|，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的性質(zhì)，將點(diǎn)代入橢圓方程，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；
（2）將直線代入橢圓方程，由△＞0，求得k的取值范圍，由|GA|=|GB|，則GM⊥AB，根據(jù)直線的斜率公式，即可求得k的值．

解答 解：（1）由2c=2，c=1，由a²=b²+c²=b²+1，
則$\frac{1}{^{2}+1}+\frac{1}{2^{2}}=1$，解得：b²=1，a²=2，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）由題意可知設(shè)直線l的斜率為k，直線l的方程為y=k（x+2），
$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（1+2k²）x²+8k²x+8k²-2=0，
設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），AB的中點(diǎn)M（x₀，y₀），
則x₁+x₂=-$\frac{8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{8{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
則y₁+y₂=k（x₁+2）+k（x₂+2）=$\frac{4k}{1+2{k}^{2}}$，
△=（8k²）²-4（1+2k²）（8k²-2）＞0，解得：-$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜k＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
則x₀=-$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，y₀=$\frac{2k}{1+2{k}^{2}}$，
由|GA|=|GB|，則GM⊥AB，
則k_GM=$\frac{{y}_{0}+\frac{1}{2}}{{x}_{0}}$=$\frac{\frac{2k}{1+2{k}^{2}}+\frac{1}{2}}{-\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}}$=-$\frac{1}{k}$，（k≠0），
解得：k=$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$或k=$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$（舍），
當(dāng)k=0時，顯然滿足題意；
∴直線l的方程為：y=$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$（x+2）或y=0．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，中點(diǎn)坐標(biāo)公式及直線的斜率公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．