Question

10．已知${（{\frac{1}{2}}）^x}≤4$且${log_{\sqrt{3}}}x≤2$，求函數(shù)f（x）=9^x-3^x+1-1的最大值和最小值．

Answer 1

分析 由指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，解得0＜x≤3，可令t=3^x，則1＜t≤27，將f（x）變形為g（t）=t²-3t-1，由二次函數(shù)的最值求法，即可得到所求值．

解答 解：由${（{\frac{1}{2}}）^x}≤4$且${log_{\sqrt{3}}}x≤2$，
可得2^-x≤2²且log${\;}_{\sqrt{3}}$x≤log${\;}_{\sqrt{3}}$3，
解得x≥-2且0＜x≤3，
即為0＜x≤3，
可令t=3^x，則1＜t≤27，
即有函數(shù)f（x）=9^x-3^x+1-1
即為函數(shù)g（t）=t²-3t-1=（t-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{13}{4}$，
當(dāng)t=$\frac{3}{2}$即x=log₂$\frac{3}{2}$時，函數(shù)取得最小值-$\frac{13}{4}$；
當(dāng)t=27即x=3時，函數(shù)取得最大值647．

點評 本題考查指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的運用：解不等式和求最值，考查換元法的運用，運用二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求法是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．