Question

8．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=\sqrt{3}sina}\end{array}\right.$（a為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸的正半周為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=3$\sqrt{2}$．
（1）寫(xiě)出C₁的普通方程和C₂的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)點(diǎn)P在C₁上，點(diǎn)Q在C₂上，求|PQ|的最小值及此時(shí)P的直角坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用三種方程的轉(zhuǎn)化方法，即可寫(xiě)出C₁的普通方程和C₂的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)P（cosα，$\sqrt{3}$sinα），則|PQ|的最小值為P到x+y-6=0距離，利用三角函數(shù)知識(shí)即可求解．

解答 解：（1）曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=\sqrt{3}sina}\end{array}\right.$（a為參數(shù)），普通方程為${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=3$\sqrt{2}$，即ρcosθ+ρsinθ-6=0，直角坐標(biāo)方程為x+y-6=0；
（2）設(shè)P（cosα，$\sqrt{3}$sinα），則|PQ|的最小值為P到x+y-6=0距離，
即$\frac{|cosα+\sqrt{3}sinα-6|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$|sin（α+$\frac{π}{6}$）-3|，
當(dāng)且僅當(dāng)α=2kπ+$\frac{π}{3}$（k∈Z）時(shí)，|PQ|取得最小值2$\sqrt{2}$，此時(shí)P（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三種方程的轉(zhuǎn)化，考查參數(shù)方程的運(yùn)用，屬于中檔題．