Question

19．連續(xù)拋擲同一顆均勻的骰子，令第i次得到的點(diǎn)數(shù)為a_i，若存在正整數(shù)k，使a₁+a₂+…+a_k=6，則稱k為你的幸福數(shù)字．
（1）求你的幸福數(shù)字為2的概率；
（2）若k=1，則你的得分為5分；若k=2，則你的得分為3分；若k=3，則你的得分為1分；若拋擲三次還沒(méi)找到你的幸福數(shù)字則記0分，求得分X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）設(shè)“幸福數(shù)字為2”為事件A，由題意知x₁+x₂=6，拋擲了2次骰子，相應(yīng)的基本事件空間為Ω={（x₁，x₂）|1≤x₁≤6，1≤x₂≤6，x₁∈N，x₂∈N}，共有36個(gè)基本事件，而A={（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）}，共有5個(gè)基本事件，即可得出．
（2）由已知得X的可能取值為5，3，1，0，P（X=5）=$\frac{1}{6}$，P（X=3）=$\frac{5}{36}$，P（X=1）=${∁}_{3}^{2}（\frac{1}{6}）^{2}×\frac{1}{6}$+${∁}_{3}^{2}$×$（\frac{1}{6}）^{3}$+${∁}_{3}^{1}×\frac{1}{6}×{∁}_{2}^{1}×（\frac{1}{6}）^{2}$，P（X=0）=1-P（X=5）-P（X=3）-P（X=1），即可得出．

解答 解：（1）設(shè)“幸福數(shù)字為2”為事件A，由題意知x₁+x₂=6，拋擲了2次骰子，
相應(yīng)的基本事件空間為Ω={（x₁，x₂）|1≤x₁≤6，1≤x₂≤6，x₁∈N，x₂∈N}，共有36個(gè)基本事件，
而A={（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）}，共有5個(gè)基本事件，
∴P（A）=$\frac{5}{36}$．
（2）由已知得X的可能取值為5，3，1，0，
P（X=5）=$\frac{1}{6}$，
P（X=3）=$\frac{5}{36}$，
P（X=1）=${∁}_{3}^{2}（\frac{1}{6}）^{2}×\frac{1}{6}$+${∁}_{3}^{2}$×$（\frac{1}{6}）^{3}$+${∁}_{3}^{1}×\frac{1}{6}×{∁}_{2}^{1}×（\frac{1}{6}）^{2}$=$\frac{5}{108}$，
P（X=0）=1-P（X=5）-P（X=3）-P（X=1）=$\frac{35}{54}$，
∴X的分布列為：

X	5	3	1	0
P	$\frac{1}{6}$	$\frac{5}{36}$	$\frac{5}{108}$	$\frac{35}{54}$

EX=$5×\frac{1}{6}$+3×$\frac{5}{36}$+1×$\frac{5}{108}$+0=$\frac{35}{27}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相互獨(dú)立與互斥事件的概率計(jì)算公式、隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．