Question

17．已知函數(shù)$f（x）=\frac{{{{ln}^2}x+lnx+1}}{x}$，$g（x）=\frac{x^2}{e^x}$．
（1）分別求函數(shù)f（x）與g（x）在區(qū)間（0，e）上的極值；
（2）求證：對任意x＞0，f（x）＞g（x）．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性及極值關(guān)系，即可求得f（x）及g（x）單調(diào)區(qū)間及極值；
（2）當(dāng)x∈（0，e）時f（x）≥1，$g（x）≤\frac{4}{e^2}＜1$，f（x）＞g（x）；x∈[e，+∞）時$h（x）=\frac{x^3}{e^x}$，則$h'（x）=\frac{{{x^2}（3-x）}}{e^x}$，由函數(shù)的單調(diào)性ln²x+lnx+1＞h（x），即可求得f（x）＞g（x）．

解答 解：（1）$f'（x）=\frac{-lnx（lnx-1）}{x^2}$，
令f'（x）＞0，解得：1＜x＜e，f'（x）＜0，解得：0＜x＜1或x＞e，
故f（x）在（0，1）和（e，+∞）上單調(diào)遞減，
在（1，e）上遞增，
∴f（x）在（0，e）上有極小值f（1）=1，無極大值；
$g'（x）=\frac{x（2-x）}{e^x}$，g'（x）＞0，則0＜x＜2，
故g（x）在（0，2）上遞增，在（2，+∞）上遞減，
∴g（x）在（0，e）上有極大值，$g（2）=\frac{4}{e^2}$，無極小值；
（2）由（1）知，當(dāng)x∈（0，e）時，f（x）≥1，$g（x）≤\frac{4}{e^2}＜1$，
故f（x）＞g（x）；
當(dāng)x∈[e，+∞）時，ln²x+lnx+1≥1+1+1=3，
令$h（x）=\frac{x^3}{e^x}$，則$h'（x）=\frac{{{x^2}（3-x）}}{e^x}$，
故h（x）在[e，3]上遞增，在（3，+∞）上遞減，
∴$h（x）≤h（3）=\frac{27}{e^3}＜\frac{27}{{{{2.7}^3}}}＜3$，ln²x+lnx+1＞h（x）；
綜上，對任意x＞0，f（x）＞g（x）．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性及極值關(guān)系，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．