Question

20．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞b＞0）$，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M為長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)，若在橢圓上存在點(diǎn)N，使ON⊥MN，則離心率e的取值范圍為（　�。�

• A． $（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1）$
• B． $（0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$
• C． $（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1）$
• D． $（0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$

Answer 1

分析 由ON⊥MN，可知$\overrightarrow{ON}$•$\overrightarrow{MN}$=x（x-a）+y²=0，代入橢圓方程，求得b和c的關(guān)系，利用離心率公式和離心率取值范圍，即可求得e的取值范圍．

解答 解：橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞b＞0）$，焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)M（a，0），N（x，y），則$\overrightarrow{ON}$=（x，y），$\overrightarrow{MN}$=（x-a，y）．
由ON⊥MN，
∴$\overrightarrow{ON}$•$\overrightarrow{MN}$=x（x-a）+y²=0
由橢圓方程得y²=b²-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$x²代入得c²x²-a³x+a²b²=0．
解得：x=a，或x=$\frac{a^{2}}{{c}^{2}}$，
由題意0＜$\frac{a^{2}}{{c}^{2}}$＜a．
∴b²＜c²．
∴a²-c²＜c²．
解得e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$＞$\frac{1}{2}$，
∵0＜e＜1
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜e＜1．
離心率e的取值范圍為（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查向量與圓錐關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．