Question

3． 如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，PA=PB，PA⊥PB，F(xiàn)為CE上的點(diǎn)，且BF⊥平面PAC．
（Ⅰ）求證：平面PAB⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求直線(xiàn)PC與平面ABCD所成角的正弦值；
（Ⅲ）在棱PD上是否存在一點(diǎn)G，使GF∥平面PAB，若存在，求PG的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明BC⊥平面PAB，即可證明：平面PAB⊥平面ABCD；
（Ⅱ）作PE⊥AB，垂足為E，連接EC，則∠PCE為直線(xiàn)PC與平面ABCD所成角，即可求直線(xiàn)PC與平面ABCD所成角的正弦值；
（Ⅲ）作FG∥CD，交PD于G，可得出GF∥平面PAB．

解答 （Ⅰ）證明：∵BF⊥平面PAC，∴BF⊥PA，
∵PA⊥PB，PB∩BF=B，
∴PA⊥平面PBC，
∴PA⊥BC，
∵AB⊥BC，PA∩AB=A，
∴BC⊥平面PAB，
∵BC?平面ABCD，
∴平面PAB⊥平面ABCD；
（Ⅱ）解：作PE⊥AB，垂足為E，連接EC，則∠PCE為直線(xiàn)PC與平面ABCD所成角．
∵PA=PB，PA⊥PB，AB=2，
∴$PE=1，PB=\sqrt{2}$，
Rt△PBC中，由勾股定理得PC=$\sqrt{6}$，∴sin∠PCE=$\frac{\sqrt{6}}{6}$；
（Ⅲ）解：作FG∥CD，交PD于G，
∵FG∥CD，AB∥CD，
∴FG∥AB．
∵PG?平面PAB，AB?平面PAB，
∴PG∥平面PAB，
∵BF⊥平面PAC，
∴BF⊥PC．
∵PF=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，∴PG=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴棱PD上是否存在一點(diǎn)G，PG=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，使GF∥平面PAB．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線(xiàn)面、面面垂直的判定，考查線(xiàn)面角，考查線(xiàn)面平行，屬于中檔題．