Question

13．在直角三角形△ABC中，$C=\frac{π}{2}$，$|{\overrightarrow{AC}}|=3$，對平面內(nèi)的任意一點M，平面內(nèi)有一點D使得$3\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MA}$，則$\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{CA}$=6．

Answer 1

分析 據(jù)題意，可分別以邊CB，CA所在直線為x軸，y軸，建立一平面直角坐標系，得到A（0，3），并設M（x，y），D（x′，y′），B（b，0），這樣根據(jù)條件$3\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MA}$即可得到$\left\{\begin{array}{l}{x′=\frac{3}}\\{y′=2}\end{array}\right.$，即得到$D（\frac{3}，2）$，進行數(shù)量積的坐標運算即可求出$\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{CA}$的值．

解答 解：根據(jù)題意，分別以CB，CA為x，y軸，建立如圖所示平面直角坐標系，則：

A（0，3），設M（x，y），B（b，0），D（x′，y′）；
∴由$3\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MA}$得：
3（x′-x，y′-y）=（b-x，-y）+2（-x，3-y）；
∴$\left\{\begin{array}{l}{3x′=b}\\{3y′=6}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{x′=\frac{3}}\\{y′=2}\end{array}\right.$；
∴$\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{CA}=（\frac{3}，2）•（0，3）=6$．
故答案為：6．

點評 考查通過建立平面直角坐標系解決向量問題的方法，根據(jù)點的坐標求向量的坐標，向量坐標的數(shù)乘和數(shù)量積運算．