Question

14．在二項(xiàng)式${（\sqrt{x}+\frac{1}{{2\sqrt{x}}}）^n}$的展開(kāi)式中，第三項(xiàng)系數(shù)為n-1，求展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)．

Answer 1

分析 利用通項(xiàng)公式及其性質(zhì)即可得出．

解答 解：二項(xiàng)式${（\sqrt{x}+\frac{1}{{2\sqrt{x}}}）^n}$的展開(kāi)式中，第三項(xiàng)系數(shù)$\frac{n（n-1）}{8}$，
再根據(jù)已知第三項(xiàng)系數(shù)為n-1，可得$n-1=\frac{n（n-1）}{8}$，
求得n=8或n=1（舍去）．
故二項(xiàng)式${（\sqrt{x}+\frac{1}{{2\sqrt{x}}}）^n}$的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為T(mén)_r+1=${∁}_{8}^{r}$$（\frac{1}{2}）^{r}$x^4-r，
設(shè)第r+1項(xiàng)的系數(shù)最大，則由$\left\{\begin{array}{l}C_8^r•{（\frac{1}{2}）^r}≥C_8^{r+1}•{（\frac{1}{2}）^{r+1}}\\ C_8^r•{（\frac{1}{2}）^r}≥C_8^{r-1}•{（\frac{1}{2}）^{r-1}}\end{array}\right.$解得2≤r≤3，
因?yàn)閞∈Z，所以r=2或r=3，
故第三項(xiàng)或第四項(xiàng)的系數(shù)最大，
再利用通項(xiàng)公式可得系數(shù)最大的項(xiàng)為${T_3}=7{x^2}$，T₄=7x．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)式定理的性質(zhì)及其應(yīng)用、不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．