Question

【題目】已知橢圓的焦點(diǎn)和長軸長.

（1）設(shè)直線交橢圓于兩點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)坐標(biāo).

（2）求過點(diǎn)的直線被橢圓所截弦的中點(diǎn)的軌跡方程.

Answer 1

【答案】（1）（2），其中

【解析】

（1）根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)得出橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，由橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)得出c的值，再由長軸的值求出a的值，進(jìn)而利用橢圓的性質(zhì)求出b的值，確定出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，與直線y＝x+2聯(lián)立，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，設(shè)出兩交點(diǎn)A與B的坐標(biāo)，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出兩根之和，即為兩交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求出AB中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，代入直線方程可得M的縱坐標(biāo)，進(jìn)而確定出線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）設(shè)過點(diǎn)（0，2）的直線方程的斜率為k，表示出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，由直線與橢圓有兩個不同的交點(diǎn)，得到根的判別式大于0，列出關(guān)于k的不等式，求出不等式的解集得到k的范圍，設(shè)出直線與橢圓的兩交點(diǎn)坐標(biāo)，利用韋達(dá)定理表示出兩交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式表示出線段AB中點(diǎn)C的橫坐標(biāo)，代入直線方程可得C的縱坐標(biāo)，消去參數(shù)k即可得到所求的軌跡方程．

（1）由已知條件得橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，其中，從而，

所以其標(biāo)準(zhǔn)方程是:

聯(lián)立方程組，消去得,

設(shè)線段中點(diǎn)為

那么

所以

也就是說線段中點(diǎn)坐標(biāo)為

（2）設(shè)直線方程為

把它代入

整理得:

要使直線和橢圓有兩個不同交點(diǎn)，則，即

設(shè)直線與橢圓兩個交點(diǎn)為

中點(diǎn)坐標(biāo)為，則

從參數(shù)方程，

消去得：，且

綜上，所求軌跡方程為，其中