Question

12．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{cos（x-\frac{π}{2}）}&{x∈[0，π]}\\{lo{g}_{2017}\frac{x}{π}}&{x∈（π，+∞）}\end{array}\right.$若存在三個不相等的實數(shù)a，b，c使得f（a）=f（b）=f（c），則a+b+c的取值范圍為（2π，2018π）．

Answer 1

分析 作出f（x）的函數(shù)圖象，判斷a，b，c的關系和范圍，從而得出答案．

解答 解：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{sinx，0≤x≤π}\\{lo{g}_{2017}\frac{x}{π}，x＞π}\end{array}\right.$，
作出f（x）的函數(shù)圖象如圖所示：

∵存在三個不相等的實數(shù)a，b，c使得f（a）=f（b）=f（c），不妨設a＜b＜c，
則0$＜a＜\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}＜b＜π$，
令log₂₀₁₇$\frac{x}{π}$=1得x=2017π，∴π＜c＜2017π，
∵f（x）在[0，π]上的圖象關于直線x=$\frac{π}{2}$對稱，∴a+b=π，
∴a+b+c∈（2π，2018π）．
故答案為（2π，2018π）．

點評 本題考查了方程解與函數(shù)圖象的關系，屬于中檔題．