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9.已知數列{an}滿足an+1=a2n+92anan+1an
(I)求a1的取值范圍;
(II)是否存在m∈N*,使得(am-3)(am+2-3)=(am+1-3)2?證明你的結論.

分析 (Ⅰ)由已知可得a2=a12+92a1a1,解得-3<a1<0或a1>3.利用作差法說明-3<a1<0不成立,再用數學歸納法證明a1>3時an>3,作差證明an+1<an,n∈N*
從而求得a1的取值范圍;
(Ⅱ)利用反證法證明不存在m∈N*,使得(am-3)(am+2-3)=(am+1-3)2

解答 解:(Ⅰ)∵an+1=a2n+92anan+1an,
a2=a12+92a1a1,解得-3<a1<0或a1>3.
當-3<a1<0時,a2=a12+92a16a12a1=3,
a3a2=a22+92a2a2=9a222a2>0,a3>a2,與題設矛盾.
當a1>3時,先用數學歸納法證明an>3.
①當n=1時,不等式成立.
②假設當n=k時不等式成立,即ak>3,則
當n=k+1時,ak+1=ak2+92ak2ak32ak=3,即當n=k+1時,不等式成立,
綜①②所述,對任何n∈N*,都有an>3.
an+1an=an2+92anan=9an22an0,∴an+1<an,n∈N*
綜上,a1的取值范圍是(3,+∞);
(Ⅱ)不存在m∈N*,使得(am-3)(am+2-3)=(am+1-3)2
事實上,假設存在使題設成立的正整數m,則
(am-3)(am+2-3)=(am+1-3)2 ,即(am-3)•am+1322am+1=(am+1-3)2
∴am-3=2am+1,即am3=am2+9am,得am=-3,與題設矛盾.
故不存在m∈N*,使得(am-3)(am+2-3)=(am+1-3)2

點評 本題考查數列遞推式,訓練了利用放縮法與數學歸納法證明數列不等式,考查利用反證法證明與自然數有關的命題,屬難題.

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