Question

16．如圖，正方體A₁B₁C₁D₁-ABCD中，E、F是對角線B₁D₁、A₁D的中點，
（1）求證：EF∥平面D₁C₁CD；
（2）求異面直線EF與B₁C所成的角．

Answer 1

分析 （1）分別取C₁D₁，BB₁的中點M，N，連接EM，F(xiàn)N，通過證明四邊形EMNF是平行四邊形得出EF∥MN，于是EF∥平面D₁C₁CD；
（2）連接AB₁，AC，則EF∥AB₁，故而∠AB₁C為異面直線EF與B₁C所成的角，根據(jù)△AB₁C是等邊三角形得出∠AB₁C的大�。�

解答 （1）證明：分別取C₁D₁，BB₁的中點M，N，連接EM，F(xiàn)N，
∵E、F是對角線B₁D₁、A₁D的中點，
∴EM$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$A₁D₁，F(xiàn)N$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$A₁D₁，
∴EM$\stackrel{∥}{=}$FN，
∴四邊形EMNF是平行四邊形，
∴EF∥MN，
又EF?平面D₁C₁CD，MN?平面D₁C₁CD，
∴EF∥平面D₁C₁CD．
（2）解：連接AB₁，AC，則EF∥MN∥C₁D∥AB₁，
∴∠AB₁C為異面直線EF與B₁C所成的角，
∵△AB₁C是等邊三角形，∴∠AB₁C=60°，
即異面直線EF與B₁C所成的角為60°．

點評 本題考查了線面平行的判定，異面直線所成角的計算，屬于中檔題．