Question

7．已知某商品的價格x（元）與需求量y（件）之間的關(guān)系有如下一組數(shù)據(jù)：

x	14	16	18	20	22
y	12	10	7	5	3

（1）求$\overline{x}$，$\overline{y}$；
（2）求出回歸直線方程
（3）計算相關(guān)系數(shù)r的值，并說明回歸模型擬合程度的好壞．
（參考公式：$\hat b=\frac{{\sum{{x_i}{y_i}-n\bar x\bar y}}}{{\sum{x_i^2-n{{\bar x}^2}}}}=\frac{{\sum{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}$$\hat a=\bar y-\hat b\bar x$，$r=\frac{{\sum{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sqrt{\sum{{{（{x_i}-\overline x）}^2}•\sum{{{（{y_i}-\overline y）}^2}}}}}}$）
參考數(shù)據(jù)：$\sum_{i=1}^5{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}=40，\sum_{i=1}^5{x_i}{y_i}=620，\sum_{i=1}^5{（y_i^{\;}}-\overline y{）^2}=53.2，\sqrt{133}≈11.53$
當(dāng)n-2=3，r_0.05=0.878．

Answer 1

分析 （1）由平均數(shù)公式計算x，y的平均值即可；
（2）結(jié)合回歸方程系數(shù)公式和（1）的結(jié)論求解回歸方程即可；
（3）利用相關(guān)系數(shù)的計算公式求得相關(guān)系數(shù)即可比較擬合效果的好壞．

解答 解：（1）由題意可得：$\overline{x}=\frac{14+16+18+20+22}{5}=18$，$\overline{y}=\frac{12+10+7+5+3}{5}=7.4$．
（2）結(jié)合題意和（1）的結(jié)論有：$\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}^{2}=1660，\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}{y}_{i}=620$，則：

$\widehat=\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}=\frac{620-5×18×7.4}{1660-5×{18}^{2}}=-1.15$，$\widehat{a}=\overline{y}-\widehat\overline{x}=28.1$，
回歸方程為：$\hat{y}=-1.15x+28.1$．
（3）由題意可得：$r=\frac{\sum_{u=1}^{5}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sqrt{\sum_{i=1}^{5}{（{x}_{i}-\overline{x}）}^{2}\sum_{i=1}^{5}{（{y}_{i}-\overline{y}）}^{2}}}=0.994＞0.878$，
∴回歸模型擬合效果很好．

點評 本題考查了線性回歸方程的實際應(yīng)用，線性回歸方程的性質(zhì)，相關(guān)系數(shù)的概念等，重點考查學(xué)生的計算能力和對基礎(chǔ)概念的理解，屬于中等題．