Question

6．?dāng)?shù)列{a_n}滿足a₁=1，$\sqrt{{{a}_{n}}^{2}+2}$=a_n+1（n∈N⁺）．
（1）求證：數(shù)列{a_n²}是等差數(shù)列，并求出{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若b_n=$\frac{2}{{a}_{n}+{a}_{n+1}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （1）由$\sqrt{{{a}_{n}}^{2}+2}$=a_n+1（n∈N⁺），平方可得：${a}_{n+1}^{2}$-${a}_{n}^{2}$=2，且${a}_{1}^{2}$=1．即可證明結(jié)論．
（2）b_n=$\frac{2}{{a}_{n}+{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n+1}}$=$\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1}$，利用裂項(xiàng)求和方法即可得出．

解答 （1）證明：由$\sqrt{{{a}_{n}}^{2}+2}$=a_n+1（n∈N⁺），平方可得：${a}_{n+1}^{2}$-${a}_{n}^{2}$=2，且${a}_{1}^{2}$=1．
∴數(shù)列{a_n²}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為2．
∴${a}_{n}^{2}$=1+2（n-1）=2n-1．
∴a_n=$\sqrt{2n-1}$．
（2）解：b_n=$\frac{2}{{a}_{n}+{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n+1}}$=$\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1}$，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和=$（\sqrt{3}-1）$+$（\sqrt{5}-\sqrt{3}）$+…+$（\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1}）$=$\sqrt{2n+1}$-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列的定義與通項(xiàng)公式、裂項(xiàng)求和方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．