分析 (1)由$\sqrt{{{a}_{n}}^{2}+2}$=an+1(n∈N+),平方可得:${a}_{n+1}^{2}$-${a}_{n}^{2}$=2,且${a}_{1}^{2}$=1.即可證明結(jié)論.
(2)bn=$\frac{2}{{a}_{n}+{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n+1}}$=$\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1}$,利用裂項(xiàng)求和方法即可得出.
解答 (1)證明:由$\sqrt{{{a}_{n}}^{2}+2}$=an+1(n∈N+),平方可得:${a}_{n+1}^{2}$-${a}_{n}^{2}$=2,且${a}_{1}^{2}$=1.
∴數(shù)列{an2}是等差數(shù)列,首項(xiàng)為1,公差為2.
∴${a}_{n}^{2}$=1+2(n-1)=2n-1.
∴an=$\sqrt{2n-1}$.
(2)解:bn=$\frac{2}{{a}_{n}+{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n+1}}$=$\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1}$,
∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和=$(\sqrt{3}-1)$+$(\sqrt{5}-\sqrt{3})$+…+$(\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1})$=$\sqrt{2n+1}$-1.
點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列的定義與通項(xiàng)公式、裂項(xiàng)求和方法,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.
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A. | $\frac{1}{3}$ | B. | $\frac{2}{3}$ | C. | $\frac{1}{2}$ | D. | $\frac{3}{4}$ |
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η | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
P | 0.1 | 0.2 | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.1 |
A. | x≤3 | B. | 2≤x≤3 | C. | 2<x≤3 | D. | 2<x<3 |
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