Question

7．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）過(guò)點(diǎn)（0，1），且離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=$\frac{1}{2}x$+m與橢圓E交于A、C兩點(diǎn)，以AC為對(duì)角線作正方形ABCD，記直線l與x軸的交點(diǎn)為N，問(wèn)B，N兩點(diǎn)間距離是否為定值？如果是，求出定值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可知b=1，e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即可求得a的值，求得橢圓方程；
（Ⅱ）將直線方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式求得丨AC丨及丨MN丨，丨BN丨²=$\frac{1}{4}$丨AC丨²+丨MN丨²=$\frac{5}{2}$，即可求得B，N兩點(diǎn)間距離是否為定值．

解答 解：（Ⅰ）由題意可知：橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，過(guò)點(diǎn)（0，1），則b=1，
由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，則a=2，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段中點(diǎn)M（x₀，y₀），
則$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：x²+2mx+2m²-2=0，
由△=（2m）²-4（2m²-2）=8-4m²＞0，解得：-$\sqrt{2}$＜m＜$\sqrt{2}$，
則x₁+x₂=-2m，x₁x₂=2m²-2，則M（-m，$\frac{1}{2}$m），
丨AC丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+（\frac{1}{2}）^{2}}$•$\sqrt{4{m}^{2}-4×（2{m}^{2}-2）}$=$\sqrt{10-5{m}^{2}}$
由l與x軸的交點(diǎn)N（-2m，0），
則丨MN丨=$\sqrt{（-m+2m）^{2}+（\frac{1}{2}m）^{2}}$=$\sqrt{\frac{5}{4}{m}^{2}}$，
∴丨BN丨²=丨BM丨²+丨MN丨²=$\frac{1}{4}$丨AC丨²+丨MN丨²=$\frac{5}{2}$，
∴B，N兩點(diǎn)間距離是否為定值$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．