Question

16．（1）已知函數(shù)y=cos²α+sinα+3，求函數(shù)的最大值
（2）求f（x）=$\sqrt{2si{n}^{2}x+3sinx-2$+$log{\;}_{2}（-{x}^{2}+7x+8）}$的定義域．

Answer 1

分析 （1）利用sin²α+cos²α=1對已知函數(shù)進行變形，然后利用配方法來求函數(shù)的最大值；
（2）根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)和對數(shù)函數(shù)定義域進行計算即可．

解答 解：（1）y=cos²α+sinα+3，
=1-sin²α+sinα+3，
=-（sinα-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{17}{4}$．
當sinα=$\frac{1}{2}$時，y_最大值=$\frac{17}{4}$．
（2）依題意得：$\left\{\begin{array}{l}{2si{n}^{2}x+3sinx-2≥0}\\{-{x}^{2}+7x+8＞0}\end{array}\right.$，
整理，得
$\left\{\begin{array}{l}{（sinx+2）（2sinx-1）≥0}\\{（x-8）（x+1）＜0}\end{array}\right.$，
所以$\left\{\begin{array}{l}{sinx≥\frac{1}{2}}\\{-1＜x＜8}\end{array}\right.$．
所以x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]∪[$\frac{13π}{6}$，8]．

點評 本題考查了函數(shù)的定義域及其求法，三角函數(shù)的最值．考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．