Question

5．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），O為原點(diǎn)，第一象限的點(diǎn)M為雙曲線C漸近線上的一點(diǎn)，且|OM|=c，點(diǎn)A為雙曲線C的右頂點(diǎn)，若cos∠MOA=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，則雙曲線C的離心率為（　�。�

• A． $\frac{12}{7}$
• B． $\frac{7}{3}$
• C． $\frac{3}{7}$$\sqrt{21}$
• D． $\frac{\sqrt{21}}{3}$

Answer 1

分析 求得雙曲線的漸近線方程，可得tan∠MOA=$\frac{a}$，再由同角的平方關(guān)系可得sin∠MOA=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，商數(shù)關(guān)系可得tan∠MOA=$\frac{2}{\sqrt{3}}$，即有4a²=3b²，運(yùn)用a，b，c的關(guān)系和離心率公式，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：由題意可得M在漸近線y=$\frac{a}$x上，
即有tan∠MOA=$\frac{a}$，
由cos∠MOA=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，可得
sin∠MOA=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{21}}{7}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，
即有tan∠MOA=$\frac{sin∠MOA}{cos∠MOA}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}$，
可得$\frac{a}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}$，即有4a²=3b²，
可得4a²=3c²-3a²，
則c²=$\frac{7}{3}$a²，
可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{21}}{3}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運(yùn)用雙曲線的漸近線方程和同角的基本關(guān)系式，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．