Question

13．某高校進(jìn)行自主招生測(cè)試，報(bào)考學(xué)生有500人，其中男生300人，女生200人，為了研究學(xué)生的成績(jī)是否與性別有關(guān)，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取了100名學(xué)生，先統(tǒng)計(jì)了他們測(cè)試的分?jǐn)?shù)，然后按性別分為男、女兩組，再將兩組學(xué)生的分?jǐn)?shù)分成4組：[70，90），[90，110），[110，130），[130，150]分別加以統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

（Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖可以估計(jì)女生測(cè)試成績(jī)的平均值為103.5，請(qǐng)你估計(jì)男生測(cè)試成績(jī)的平均值，由此推斷男、女生測(cè)試成績(jī)的平均水平的高低；
（Ⅱ）若規(guī)定分?jǐn)?shù)不小于110分的學(xué)生為“優(yōu)秀生”，請(qǐng)你根據(jù)已知條件完成2×2列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認(rèn)為“優(yōu)秀生與性別有關(guān)”？

	優(yōu)秀生	非優(yōu)秀生	合計(jì)
男生
女生
合計(jì)

參考公式：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$
參考數(shù)據(jù)：

P（K2≥k0）	0.100	0.050	0.010	0.001
k0	2.706	3.841	6.635	10.828

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間中點(diǎn)值作代表，計(jì)算男生的成績(jī)平均數(shù)，即可得出結(jié)論；
（Ⅱ）根據(jù)所給的條件寫出列聯(lián)表，根據(jù)列聯(lián)表做出觀測(cè)值，把觀測(cè)值同臨界值進(jìn)行比較，得到結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）由頻率分布直方圖可以估計(jì)男生測(cè)試的成績(jī)的平均值為$\overrightarrow{x甲}$=80×0.015×20+100×0.0225×20+120×0.01×20+140×0.025×20=100分，
因?yàn)?03.5＞100，
所以由此可以判斷，女生測(cè)試成績(jī)的平均水平略高于男生
（Ⅱ）由頻數(shù)分布表可知：在抽取的100學(xué)生中，男生有100×$\frac{300}{500}$=60（人），測(cè)試成績(jī)優(yōu)秀的男生有60×（0.0100+0.0025）×20=15人，
女生有100×$\frac{200}{500}$=40（人），測(cè)試成績(jī)優(yōu)秀的女生有40×（0.01625+0.00250）×20=15人，
據(jù)此可得2×2列聯(lián)表如下：

	優(yōu)秀生	非優(yōu)秀生	合計(jì)
男生	15	45	60
女生	15	25	40
合計(jì)	30	70	100

可得k²=$\frac{100×（15×25-45×15）^{2}}{60×40×30×70}$=$\frac{25}{14}$≈1.79
因?yàn)?.79＜2.706，所以沒有90%的把握認(rèn)為“數(shù)學(xué)成績(jī)與性別有關(guān)”

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)算出觀測(cè)值，理解臨界值對(duì)應(yīng)的概率的意義，屬于基礎(chǔ)題．