Question

8．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{a}^{x}-1}{{a}^{x}+1}$（a＞0，a≠1）．
（1）求f（x）的定義域，值域；
（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并加以證明．

Answer 1

分析 （1）定義域易得，利用反解自變量的方法求值域即可．
（2）先把函數(shù)分離常數(shù)，在分底數(shù)和1的大小兩種情況再結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性來判斷即可．

解答 解：（1）易得f（x）的定義域?yàn)閧x|x∈R}．
設(shè)y=$\frac{{a}^{x}-1}{{a}^{x}+1}$，解得a^x=-$\frac{y+1}{y-1}$①
∵a^x＞0當(dāng)且僅當(dāng)-$\frac{y+1}{y-1}$＞0時(shí)，方程①有解．解-$\frac{y+1}{y-1}$＞0得-1＜y＜1．
∴f（x）的值域?yàn)閧y|-1＜y＜1}．
（2）f（x）=1-$\frac{2}{{a}^{x}+1}$，
1°當(dāng)a＞1時(shí)，∵a^x+1為增函數(shù)，且a^x+1＞0，
∴$\frac{2}{{a}^{x}+1}$為減函數(shù)，從而f（x）為增函數(shù)，
2°當(dāng)0＜a＜1時(shí)，類似地可得f（x）為減函數(shù)；
證明如下：
設(shè)x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=1-$\frac{2}{{a}^{{x}_{1}}+1}$-1+$\frac{2}{{a}^{{x}_{2}}+1}$=$\frac{2{（a}^{{x}_{1}}{-a}^{{x}_{2}}）}{{（a}^{{x}_{1}}+1）{（a}^{{x}_{2}}+1）}$，
0＜a＜1時(shí)，由x₁＜x₂，得：${a}^{{x}_{1}}$＞${x}^{{x}_{2}}$，
故f（x₁）＞f（x₂），f（x）是減函數(shù)，
a＞1時(shí)，由x₁＜x₂，得：${a}^{{x}_{1}}$＜${x}^{{x}_{2}}$，
故f（x₁）＜f（x₂），f（x）是增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題是對(duì)函數(shù)定義域和值域以及單調(diào)性的綜合考查．在利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，其原則是；單調(diào)性相同為增，單調(diào)性相反為減，且乘正數(shù)單調(diào)性不變，乘負(fù)數(shù)單調(diào)性相反．