Question

20．設(shè)點(diǎn)P，Q分別是曲線f（x）=x²-lnx和直線x-y-2=0上的動(dòng)點(diǎn)，則P，Q兩點(diǎn)間的距離的最小值為$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 當(dāng)曲線上過點(diǎn)P的切線和直線x-y-2=0平行時(shí)，點(diǎn)P到直線x-y-2=0的距離最小，求出曲線對應(yīng)的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)值等于1，可得切點(diǎn)的坐標(biāo)，此切點(diǎn)到直線x-y-2=0的距離即為所求．

解答 解：當(dāng)過點(diǎn)P的切線和直線x-y-2=0平行時(shí)，點(diǎn)P到直線x-y-2=0的距離最�。�
由題意可得，f′（x）=2x-$\frac{1}{x}$=1，
∴x=1，
∴f（1）=1，
∴曲線f（x）=x²-lnx和直線x-y-2=0平行的切線經(jīng)過的切點(diǎn)坐標(biāo)（1，1），
點(diǎn)（1，1）到直線x-y-2=0的距離d=$\frac{|1-1-2|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴P，Q兩點(diǎn)間的距離的最小值為$\sqrt{2}$，
故答案為：$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的求法及導(dǎo)數(shù)的意義，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，同時(shí)考查了分析問題的能力，屬于中檔題．