Question

9．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-|x|，x≤1}\\{（x-1）^{2}，x＞1}\end{array}\right.$，若函數(shù)y=f（x）+f（1-x）-m恰有4個(gè)零點(diǎn)，則m的取值范圍是（　�。�

• A． （$\frac{3}{4}$，+∞）
• B． （-∞，$\frac{3}{4}$）
• C． （0，$\frac{3}{4}$）
• D． （$\frac{3}{4}$，1）

Answer 1

分析 求出f（x）+f（1-x）的解析式，做出y=f（x）+f（1-x）的函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)圖象得出答案．

解答 解：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-x，0≤x≤1}\\{1+x，x＜0}\\{（x-1）^{2}，x＞1}\end{array}\right.$，∴f（1-x）=$\left\{\begin{array}{l}{x，0≤x≤1}\\{2-x，x＞1}\\{{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$．
令y=f（x）+f（1-x）-m=0得m=f（x）+f（-x），
令g（x）=f（x）+f（1-x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，0≤x≤1}\\{{x}^{2}+x+1，x＜0}\\{{x}^{2}-3x+3，x＞1}\end{array}\right.$，
做出g（x）的函數(shù)圖象如圖所示：

∵y=f（x）+f（1-x）-m恰有4個(gè)零點(diǎn)，
∴$\frac{3}{4}$＜m＜1．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)零點(diǎn)與函數(shù)圖象的關(guān)系，分段函數(shù)函數(shù)的圖象，屬于中檔題．