Question

4．已知函數(shù)f（x）=x²e^-ax，其中a＞0．（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e=2.71828…）
（I）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求f（x）在[1，2]上的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）通過討論a的范圍，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）的最大值即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=e^-ax（-ax²+2x），
令f′（x）＞0，∵e^-ax＞0，
∴-ax²+2x＞0，解得：0＜x＜$\frac{2}{a}$，
∴f（x）在（-∞，0）和（$\frac{2}{a}$，+∞）內(nèi)是減函數(shù)，在（0，$\frac{2}{a}$）內(nèi)是增函數(shù)．               
（Ⅱ）①當(dāng)0＜$\frac{2}{a}$＜1，即a＞2時(shí)，f（x）在（1，2）內(nèi)是減函數(shù)．
∴在[1，2]上，f（x）_max=f（1）=e^-a；                                              
②當(dāng)1≤$\frac{2}{a}$≤2，即1≤a≤2時(shí)，f（x）在（1，$\frac{2}{a}$）內(nèi)是增函數(shù)，在（$\frac{2}{a}$，2）內(nèi)是減函數(shù)．
∴在[1，2]上，f（x）_max=f（$\frac{2}{a}$）=4a^-2e^-2；                                        
③當(dāng)$\frac{2}{a}$＞2，即0＜a＜1時(shí)，f（x）在（1，2）是增函數(shù)．
∴在[1，2]上，f（x）_max=f（2）=4e^-2a，
綜上所述，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）在[1，2]上的最大值為4e^-2a；
當(dāng)1≤a≤2時(shí)，f（x）在[1，2]上的最大值為4a^-2e^-2；
當(dāng)a＞2時(shí)，f（x）在[1，2]上的最大值e^-a．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題．