Question

9．在直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=3-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數）．在極坐標系（與直角坐標系xOy取相同的長度單位），且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，圓C的方程為ρ=4sinθ．
（1）求圓C的直角坐標方程和直線l普通方程；
（2）設圓C與直線l交于點A，B，若點P的坐標為（3，0），求|PA|+|PB|．

Answer 1

分析 （1）利用三種方程的轉化方法，求圓C的直角坐標方程和直線l普通方程；
（2）將l的參數方程代入圓C的直角坐標方程，利用參數的幾何意義，即可求|PA|+|PB|．

解答 解：（1）由ρ=4sinθ，得ρ²=4ρsinθ，
從而可得x²+y²=4y，即x²+y²-4y=0，
即圓C的直角坐標方程為x²+（y-2）²=4，
直線l的普通方程為x+y-3=0．
（2）將l的參數方程代入圓C的直角坐標方程，
得${（3-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t）^2}+{（\frac{{\sqrt{2}}}{2}t-2）^2}=4$，即${t^2}-5\sqrt{2}t+9=0$．
由于$△={（5\sqrt{2}）^2}-4×9=14＞0$，
故可設t₁，t₂是上述方程的兩實根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{t_1}+{t_2}=5\sqrt{2}\\{t_1}{t_2}=9.\end{array}\right.$
又直線l過點P（3，0），
故由上式及t的幾何意義得$|PA|+|PB|=|{t_1}|+|{t_2}|=5\sqrt{2}$．

點評 本題考查三種方程的轉化，考查參數方程的運用，正確運用參數的幾何意義是關鍵．