Question

12．在平面直角坐標系xOy中，已知A（3，0），B（0，4），C（6，t）．
（1）若點A，B，C在同一條直線上，求實數(shù)t的值；
（2）若△ABC是以BC為底邊的等腰三角形，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）由題意知$\overrightarrow{AB}=（-3，4）$，$\overrightarrow{AC}=（3，t）$．由點A，B，C在同一條直線上，可得$\overrightarrow{AB}∥\overrightarrow{AC}$，利用向量共線定理的坐標運算性質即可得出．．
（2）△ABC是以BC為底邊的等腰三角形，可得AC=BC．解得t，通過分類討論可得：當t=4時，C（6，4），故直線AB的方程為：4x+3y-12=0．點C到直線AB的距離d．利用△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$d|AB|即可得出．

解答 解：（1）由題意知$\overrightarrow{AB}=（-3，4）$，$\overrightarrow{AC}=（3，t）$．
∵點A，B，C在同一條直線上，∴$\overrightarrow{AB}∥\overrightarrow{AC}$，∴-3t-12=0，∴t=-4．
（2）∵△ABC是以BC為底邊的等腰三角形，∴AC=BC．
∵$AB=\sqrt{{3^2}+{4^2}}=5$，$AC=\sqrt{9+{t^2}}$，
∴5=$\sqrt{9+{t}^{2}}$，解得t=±4．
當t=-4時，點A，B，C在同一條直線上，故舍去．
當t=4時，C（6，4），故直線AB的方程為：4x+3y-12=0．
點C到直線AB的距離d=$\frac{|24+12-12|}{\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}}$=$\frac{24}{5}$．
∴△ABC的面積為$S=\frac{1}{2}×d×AB=\frac{1}{2}×\frac{24}{5}×5=12$．

點評 本題考查了向量共線定理、點到直線的距離公式、三角形面積計算公式、等腰三角形的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．