Question

4．已知拋物線C：x²=4y，M為直線l：y=-1上任意一點，過點M作拋物線C的兩條切線MA，MB，切點分別為A，B．
（1）當M的坐標為（0，-1）時，求過M，A，B三點的圓的方程；
（2）若P（x₀，y₀）是C上的任意點，求證：P點處的切線的斜率為$k=\frac{1}{2}{x_0}$；
（3）證明：以AB為直徑的圓恒過點M．

Answer 1

分析 （1）設過M點的切線方程，代入x²=4y，整理得x²-4kx+4=0，令△=0，可得A，B的坐標，利用M到AB的中點（0，1）的距離為2，可得過M，A，B三點的圓的方程；
（2）由已知拋物線解析式變形得y=$\frac{{x}^{2}}{4}$，求出導函數(shù)y′=$\frac{1}{2}$x，即可得證；
（3）設出切點A與B坐標分別為A（x₁，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$），B（x₂，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$），表示出切線MA與切線MB的方程，再由切線MA與MB過M，將M坐標分別代入得到兩個關系式，x₁，x₂是方程-1=$\frac{1}{2}$x₀x-$\frac{1}{4}$x²的兩實根，利用韋達定理表示出兩根之和與兩根之積，再表示出兩向量$\overrightarrow{MA}$與$\overrightarrow{MB}$，將表示出兩根之和與兩根之積代入計算$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$的值為0，即可得到以AB為直徑的圓恒過點M．

解答 解：（1）當M的坐標為（0，-1）時，
設過M點的切線方程為y=kx-1，代入x²=4y，整理得x²-4kx+4=0，
令△=16k²-16=0，解得k=±1，
代入方程得x=±2，故得A（2，1），B（-2，1），
因為M到AB的中點（0，1）的距離為2，
從而過M，A，B三點的圓的方程為x²+（y-1）²=4．
（2）證明：拋物線C：x²=4y，導數(shù)為y′=$\frac{1}{4}$•2x=$\frac{1}{2}$x，
可得P（x₀，y₀）是C上的任意點，
P點處的切線的斜率為$k=\frac{1}{2}{x_0}$；
（3）證明：設切點分別為A（x₁，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$），B（x₂，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$），
∴k_MA=$\frac{{x}_{1}}{2}$，k_MB=$\frac{{x}_{2}}{2}$，
切線MA的方程為y-$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$=$\frac{{x}_{1}}{2}$（x-x₁），即y=$\frac{1}{2}$x₁x-$\frac{1}{4}$x₁²，
切線MB的方程為y-$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$=$\frac{{x}_{2}}{2}$（x-x₂），即y=$\frac{1}{2}$x₂x-$\frac{1}{4}$x₂²，
又因為切線MA過點M（x₀，-1），
所以得-1=$\frac{1}{2}$x₀x₁-$\frac{1}{4}$x₁²，①
又因為切線MB也過點M（x₀，-1），
所以得-1=$\frac{1}{2}$x₀x₂-$\frac{1}{4}$x₂²，②
所以x₁，x₂是方程-1=$\frac{1}{2}$x₀x-$\frac{1}{4}$x²的兩實根，
由韋達定理得x₁+x₂=2x₀，x₁x₂=-4，
因為$\overrightarrow{MA}$=（x₁-x₀，$\frac{1}{4}$x₁²+1），$\overrightarrow{MB}$=（x₂-x₀，$\frac{1}{4}$x₂²+1），
所以$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=（x₁-x₀）（x₂-x₀）+（$\frac{1}{4}$x₁²+1）（$\frac{1}{4}$x₂²+1）
=x₁x₂-x₀（x₁+x₂）+x₀²+$\frac{{{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}}{16}$+$\frac{1}{4}$（x₁²+x₂²）+1
=x₁x₂-x₀（x₁+x₂）+x₀²+$\frac{{{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}}{16}$+$\frac{1}{4}$[（x₁+x₂）²-2x₁x₂]+1，
將x₁+x₂=2x₀，x₁x₂=-4代入，得$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=0，
則以AB為直徑的圓恒過點M．

點評 此題考查了圓的標準方程，涉及的知識有：兩函數(shù)圖象的交點，韋達定理，平面向量的數(shù)量積運算，兩點間的距離公式，以及圓的切線方程，是一道綜合性較強的試題．