Question

15．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左，右焦點(diǎn)分別為F₁（-3，0），F(xiàn)₂（3，0）．點(diǎn)P（x₀，y₀）是橢圓C在x軸上方的動(dòng)點(diǎn)，且△PF₁F₂的周長為16．
（I）求橢圓C的方程；
（II）設(shè)點(diǎn)Q到△PF₁F₂三邊的距離均相等．當(dāng)x₀=3時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得a，c的值，再由隱含條件求得b，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）求出P點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出Q的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)Q到△PF₁F₂三邊的距離均相等列方程組求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

解答 解：（Ⅰ）依題意，c=3，2a+2c=16，∴a=5，
從而b²=a²-c²=16，
故橢圓方程為$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$；
（Ⅱ）當(dāng)x₀=3時(shí)，${y_0}=\frac{16}{5}＞0$，則直線PF₁的方程為：8x-15y+24=0，
直線PF₂的方程為：x=3，
設(shè)Q（x，y），則$\frac{{|{8x-15y+24}|}}{17}=y$，且y=3-x，其中8x-15y+24＞0，
解得$x=\frac{9}{5}$，$y=\frac{6}{5}$，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為$（{\frac{9}{5}\;，\;\;\frac{6}{5}}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，訓(xùn)練了點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用，屬中檔題．