Question

9．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足S_n=2a_n-2，若數(shù)列{b_n}滿足b_n=10-log₂a_n，則使數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和取最大值時(shí)的n的值為9或10．

Answer 1

分析 S_n=2a_n-2，n=1時(shí)，a₁=2a₁-2，解得a₁．n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得a_n．令b_n≥0，解得n，即可得出．

解答 解：∵S_n=2a_n-2，∴n=1時(shí)，a₁=2a₁-2，解得a₁=2．
n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2-（2a_n-1-2），∴a_n=2a_n-1．
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，公比為2．
∴a_n=2ⁿ．
∴b_n=10-log₂a_n=10-n．
由b_n=10-n≥0，解得n≤10．
∴使數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和取最大值時(shí)的n的值為9或10．
故答案為：9或10．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、不等式的解法、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．