Question

19．在一次植樹(shù)活動(dòng)中，四名同學(xué)分別種植5棵樹(shù)苗，每棵樹(shù)苗成活的概率為$\frac{1}{2}$．如果一名同學(xué)種植的5棵樹(shù)苗中至少3棵樹(shù)苗成活，則認(rèn)為該名同學(xué)植樹(shù)活動(dòng)成績(jī)合格，否則認(rèn)為該名同學(xué)植樹(shù)活動(dòng)成績(jī)不合格．某名同學(xué)植樹(shù)活動(dòng)成績(jī)不合格時(shí)，需要進(jìn)行一次補(bǔ)種樹(shù)苗，假設(shè)每人的補(bǔ)種樹(shù)苗費(fèi)用均為50元．
（1）求四名同學(xué)中恰有兩名同學(xué)需要補(bǔ)種樹(shù)苗的概率；
（2）設(shè)X為需要補(bǔ)種樹(shù)苗的人數(shù)，Y為補(bǔ)種樹(shù)苗的總費(fèi)用，求X的分布列和Y的期望．

Answer 1

分析 （1）一名同學(xué)需要進(jìn)行補(bǔ)種樹(shù)苗的概率為${∁}_{5}^{0}（\frac{1}{2}）^{5}$+${∁}_{5}^{1}（\frac{1}{2}）^{5}$+${∁}_{5}^{2}（\frac{1}{2}）^{5}$．利用二項(xiàng)分布列的概率計(jì)算公式可得四名同學(xué)中恰有兩名同學(xué)需要補(bǔ)種樹(shù)苗的概率．
（2）由X～B$（4，\frac{1}{2}）$，P（X=k）=${∁}_{4}^{k}（\frac{1}{2}）^{k}（\frac{1}{2}）^{4-k}$，可得X的分布列及其E（X）．而Y=50X，可得E（Y）=50E（X）．

解答 解：（1）一名同學(xué)需要進(jìn)行補(bǔ)種樹(shù)苗的概率為${∁}_{5}^{0}（\frac{1}{2}）^{5}$+${∁}_{5}^{1}（\frac{1}{2}）^{5}$+${∁}_{5}^{2}（\frac{1}{2}）^{5}$=$\frac{1}{2}$．
則四名同學(xué)中恰有兩名同學(xué)需要補(bǔ)種樹(shù)苗的概率P=${∁}_{4}^{2}×（\frac{1}{2}）^{2}×（\frac{1}{2}）^{2}$=$\frac{3}{8}$．
（2）由X～B$（4，\frac{1}{2}）$，P（X=k）=${∁}_{4}^{k}（\frac{1}{2}）^{k}（\frac{1}{2}）^{4-k}$，
則P（X=0）=$\frac{1}{16}$，P（X=1）=$\frac{1}{4}$，P（X=2）=$\frac{3}{8}$，P（X=3）=$\frac{1}{4}$．
P（X=4）=$\frac{1}{16}$．
X的分布列為：

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{1}{16}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{16}$

E（X）=4×$\frac{1}{2}$=2．
而Y=50X，∴E（Y）=50E（X）=50×2=100．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)分布列的概率與數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．