Question

【題目】設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)為，，右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為.已知.

（Ⅰ）求橢圓的離心率；

（Ⅱ）設(shè)為橢圓上異于其頂點(diǎn)的一點(diǎn)，以線(xiàn)段為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)與該圓相切.求直線(xiàn)的斜率.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或.

【解析】

（Ⅰ）由題意得，再結(jié)合即可得，即可得解；

（Ⅱ）設(shè)橢圓方程為，，由題意可得，進(jìn)而可得圓的方程，利用直線(xiàn)與圓相切的性質(zhì)列出方程后即可得解.

（Ⅰ）由，可得，

又，則.

所以，橢圓的離心率.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，故橢圓方程為.

設(shè).由，，有，.

由已知，有，

即.

又，故有. ①

又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，故. ②

由①和②可得，而點(diǎn)不是橢圓的頂點(diǎn)，

故，代入①得，即點(diǎn)的坐標(biāo)為，

設(shè)圓的圓心為，則，，

進(jìn)而圓的半徑.

設(shè)直線(xiàn)的斜率為，依題意，直線(xiàn)的方程為，

由與圓相切，可得，即，

整理得，解得.

所以，直線(xiàn)的斜率為或.