Question

11．已知函數(shù)f（x）=ax³-3x²+1，若f（-a）、f（a）、f（3a）成公差不為0的等差數(shù)列，則過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線y=f（x）的切線可以作（　　）

• A． 0條
• B． 1條
• C． 2條
• D． 3條

Answer 1

分析 先求出a，再分類討論，求出切線的條數(shù)．

解答 解：∵f（-a）、f（a）、f（3a）成公差不為0的等差數(shù)列，
∴2f（a）=f（-a）+f（3a），
代入化簡(jiǎn)可得a⁴-a²=0，
∵a≠0，∴a=±1，
a=-1，函數(shù)f（x）=-x³-3x²+1，
設(shè)切點(diǎn)A（x₀，y₀），
∵f′（x）=-3x²-6x，
∴切線斜率為-3x₀²-6x₀，又切線過(guò)原點(diǎn)，
∴-y₀=3x₀³+6x₀²①
又∵切點(diǎn)A（x₀，y₀）在f（x）=-x³-3x²+1的圖象上，
∴y₀=-x₀³-3x₀²+1②
由①②得：2x₀³+3x₀²+1=0，方程有唯一解；
a=1，函數(shù)f（x）=x³-3x²+1，
設(shè)切點(diǎn)A（x₀，y₀），
∵f′（x）=3x²-6x，
∴切線斜率為3x₀²-6x₀，又切線過(guò)原點(diǎn)，
∴-y₀=-3x₀³+6x₀²①
又∵切點(diǎn)A（x₀，y₀）在f（x）=x³-3x²+1的圖象上，
∴y₀=x₀³-3x₀²+1②
由①②得：2x₀³-3x₀²-1=0，方程有唯一解；
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于中檔題．