Question

1．已知函數(shù)f（x）=1nx．
（Ⅰ）求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）求證：當(dāng)x＞0時，$f（x）≥1-\frac{1}{x}$；
（Ⅲ）若x-1＞a1nx對任意x＞1恒成立，求實數(shù)a的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出導(dǎo)函數(shù)$f'（x）=\frac{1}{x}$，求出斜率f'（1）=1，然后求解切線方程．
（Ⅱ）化簡$g（x）=f（x）-（1-\frac{1}{x}）$=$1nx-1+\frac{1}{x}$．求出$g'（x）=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{x-1}{x^2}$，令$g'（x）=\frac{x-1}{x^2}=0$，解得x=1．判斷函數(shù)的單調(diào)性求出極小值，推出結(jié)果．
（Ⅲ）設(shè)h（x）=x-1-a1nx（x≥1），依題意，對于任意x＞1，h（x）＞0恒成立．$h'（x）=1-\frac{a}{x}=\frac{x-a}{x}$，a≤1時，a＞1時，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求解最值推出結(jié)論即可．

解答 解：（Ⅰ）$f'（x）=\frac{1}{x}$，f'（1）=1，
又f（1）=0，所以切線方程為y=x-1；
（Ⅱ）證明：由題意知x＞0，令$g（x）=f（x）-（1-\frac{1}{x}）$=$1nx-1+\frac{1}{x}$．$g'（x）=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{x-1}{x^2}$
令$g'（x）=\frac{x-1}{x^2}=0$，解得x=1．
易知當(dāng)x＞1時，g'（x）＞0，易知當(dāng)0＜x＜1時，g'（x）＜0．
即g（x）在（0，1）單調(diào)遞減，在（1，+∞）單調(diào)遞增，
所以g（x）_min=g（1）=0，g（x）≥g（1）=0
即$g（x）=f（x）-（1-\frac{1}{x}）≥0$，即x＞0時，$f（x）≥1-\frac{1}{x}$；
（Ⅲ）設(shè)h（x）=x-1-a1nx（x≥1），
依題意，對于任意x＞1，h（x）＞0恒成立．
$h'（x）=1-\frac{a}{x}=\frac{x-a}{x}$，a≤1時，h'（x）＞0，h（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
當(dāng)x＞1時，h（x）＞h（1）=0，滿足題意．
a＞1時，隨x變化，h'（x），h（x）的變化情況如下表：

x	（1，a）	a	（a，+∞）
h'（x）	-	0	+
h（x）	↘	極小值	↗

h（x）在（1，a）上單調(diào)遞減，所以g（a）＜g（1）=0
即當(dāng)a＞1時，總存在g（a）＜0，不合題意．
綜上所述，實數(shù)a的最大值為1．

點評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，切線方程，函數(shù)的極值以及函數(shù)的最值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．