Question

13．已知函數(shù)$f（x）=\frac{1}{x}+klnx$，k≠0．
（Ⅰ）當k=2時，求函數(shù)f（x）切線斜率中的最大值；
（Ⅱ）若關(guān)于x的方程f（x）=k有解，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的定義域，導數(shù)，推出切線的斜率，然后求解函數(shù)f（x）切線斜率中的最大值；
（Ⅱ）關(guān)于x的方程f（x）=k有解，令$g（x）=f（x）-k=\frac{1}{x}+klnx-k$，則問題等價于函數(shù)g（x）存在零點，
求出${g^'}（x）=-\frac{1}{x^2}+\frac{k}{x}=\frac{kx-1}{x^2}$．通過當k＜0時，當k＞0時，判斷函數(shù)的單調(diào)性以及求解函數(shù)的最值，推出結(jié)果即可．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)$f（x）=\frac{1}{x}+klnx$的定義域為（0，+∞）.${f^'}（x）=-\frac{1}{x^2}+\frac{k}{x}（{x＞0}）$
當k=2時，${f^'}（x）=-\frac{1}{x^2}+\frac{2}{x}=-（{\frac{1}{x}-1}）+1≤1$，
所以函數(shù)f（x）切線斜率的最大值為1．
（Ⅱ）因為關(guān)于x的方程f（x）=k有解，
令$g（x）=f（x）-k=\frac{1}{x}+klnx-k$，則問題等價于函數(shù)g（x）存在零點，
所以${g^'}（x）=-\frac{1}{x^2}+\frac{k}{x}=\frac{kx-1}{x^2}$．
當k＜0時，g′（x）＜0對（0，+∞）成立，
函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減．
而g（1）=1-k＞0，$g（{{e^{1-\frac{1}{k}}}}）=\frac{1}{{{e^{1-\frac{1}{k}}}}}+k（{1-\frac{1}{k}}）-k$=$\frac{1}{{{e^{1-\frac{1}{k}}}}}-1＜\frac{1}{e}-1＜0$，
所以函數(shù)g（x）存在零點．
當k＞0時，令g′（x）=0，得$x=\frac{1}{k}$．
g′（x），g（x）隨x的變化情況如下表：

x	（0，$\frac{1}{k}$）	$\frac{1}{k}$	（$\frac{1}{k}$，+∞）
g'（x）	-	0	+
g（x）	↘	極小值	↗

所以$g（{\frac{1}{k}}）=k-k+kln\frac{1}{k}=-klnk$為函數(shù)g（x）的最小值，
當$g（{\frac{1}{k}}）＞0$時，即0＜k＜1時，函數(shù)g（x）沒有零點，
當$g（{\frac{1}{k}}）≤0$時，即k≥1時，注意到$g（e）=\frac{1}{e}+k-k＞0$，
所以函數(shù)g（x）存在零點．
綜上，當k＜0或k≥1時，關(guān)于x的方程f（x）=k有解．

點評 本題考查函數(shù)與導數(shù)的綜合應用，考查函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值，分類討論思想的應用，考查計算能力．