Question

11．（1）從0，1，2，3，4，5這六個數(shù)字任取3個，問能組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？
（2）若（x⁶+3）（x²+$\frac{a}{x}$）⁵的展開式中含x¹⁰項的系數(shù)為43，求實數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）可用分步原理求解，第一步排首位，從非零數(shù)字中選一個，有${A}_{5}^{1}$種不同方法；
第二步排后兩位，從余下的5個數(shù)字中選2個排列即可；
（2）化（x⁶+3）（x²+$\frac{a}{x}$）⁵=x⁶${{（x}^{2}+\frac{a}{x}）}^{5}$+3${{（x}^{2}+\frac{a}{x}）}^{5}$，
利用${{（x}^{2}+\frac{a}{x}）}^{5}$展開式的通項公式求出x¹⁰的系數(shù)和x⁴的系數(shù)，
即可得出所求展開式中含x¹⁰項的系數(shù)，列方程求出a的值．

解答 解：（1）從0，1，2，3，4，5這六個數(shù)字任取3個，
能組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)是
${A}_{5}^{1}$•${A}_{5}^{2}$=5×5×4=100；
（2）（x⁶+3）（x²+$\frac{a}{x}$）⁵=x⁶${{（x}^{2}+\frac{a}{x}）}^{5}$+3${{（x}^{2}+\frac{a}{x}）}^{5}$，
且二項式${{（x}^{2}+\frac{a}{x}）}^{5}$展開式的通項公式為
T_r+1=${C}_{5}^{r}$•x^2（5-r）•${（\frac{a}{x}）}^{r}$=${C}_{5}^{r}$•x^10-3r•a^r；
令10-3r=10，解得r=0，
∴其展開式中x¹⁰的系數(shù)為${C}_{5}^{0}$•a⁰=1；
令10-3r=4，解得r=2，
∴其展開式中x⁴的系數(shù)為${C}_{5}^{2}$•a²=10a²；
故所求展開式中含x¹⁰項的系數(shù)為
10a²+3×1=43，
解得a=±2．

點評 本題考查了排列數(shù)的計算問題，也考查了二項式定理的應(yīng)用問題，是綜合題．