Question

【題目】如圖四棱錐中， 是梯形，AB∥CD， ，AB=PD=4，CD=2， ，M為CD的中點，N為PB上一點，且.

（1）若MN∥平面PAD；

（2）若直線AN與平面PBC所成角的正弦值為，求異面直線AD與直線CN所成角的余弦值。

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：

（1）由題意在，連接EN，DE，結(jié)合條件可得四邊形DMNE是平行四邊形，故得MN∥DE，由線面平行的判定可得結(jié)論成立．（2）過點D作DHAB于H，則DHCD，建立空間直角坐標系，利用直線AN的方向向量與平面PBC的法向量并結(jié)合條件可得，然后根據(jù)兩向量的夾角可得異面直線所成角的余弦值．

試題解析：

（1）證明：當則

，連接EN，DE，

EN∥AB，且，

M為CD的中點，CD=2，

，

又AB∥CD，

EN∥DM，EN=DM，

四邊形DMNE是平行四邊形，

MN∥DE，

又 平面PAD，MN平面PAD，

MN∥平面PAD．

（2）如圖所示，過點D作DHAB于H，則DHCD．以D為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標D- yz．

則D（0，0，0），M（0，1，0），C（0，2，0），B（2，2，0），A（2，-2，0），

P（0，0，4），

∴，

．

該平面PBC的法向量為，

則由，得．

令z=1，則．

該直線AN與平面PBC所成的角為，則

，

解得

∴

設(shè)直線AD與直線CN所成角為，

則．

所以直線AD與直線CN所成角的余弦值為．