19.若實數(shù)x,y滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x+y≤2}\\{y-z≤2}\\{y≥1}\end{array}\right.$,則(x+2)2+(y-3)2的最大值和最小值之和為( 。
A.$\frac{19}{2}$B.$\frac{35}{2}$C.14D.18

分析 畫出不等式組表示的平面區(qū)域,根據(jù)(x+2)2+(y-3)2的幾何意義求出最小值與最大值,再求和即可.

解答 解:畫出不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x+y≤2}\\{y-z≤2}\\{y≥1}\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域如圖所示;
其中點A(-1,1),B(1,1),C(0,2),
而(x+2)2+(y-3)2的幾何意義是平面區(qū)域內(nèi)的點(x,y)與點(-2,3)的距離的平方,
最小值為點(-2,3)到直線x-y+2=0的距離的平方,
即d2=${(\frac{|-2-3+2|}{\sqrt{2}})}^{2}$=$\frac{9}{2}$;
最大值為點(-2,3)到點B的距離的平方,即d′2=(1+2)2+(1-3)2=13,
所以最大值與最小值之和為$\frac{9}{2}$+13=$\frac{35}{2}$.
故選:B.

點評 本題考查了線性規(guī)劃的應用問題,也考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法,是中檔題.

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