3.在直角坐標(biāo)系xOy中,以O(shè)為極點(diǎn),x正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C1的極坐標(biāo)方程為$ρcos({θ-\frac{π}{3}})=1$,P為C1與x軸的交點(diǎn),已知曲線C2的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=cosθ\\ y=-2+sinθ\end{array}\right.$(θ為參數(shù)),M,N是曲線C2上的兩點(diǎn)且對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為θ=α,$θ=α+\frac{π}{2}$,其中α∈R.
(Ⅰ)寫出曲線C1的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)求|PM|2+|PN|2的取值范圍.

分析 (I)曲線C1的極坐標(biāo)方程為$ρcos({θ-\frac{π}{3}})=1$,展開為:$ρ(\frac{1}{2}cosθ+\frac{\sqrt{3}}{2}sinθ)$=1,利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程.
(II)由方程:x+$\sqrt{3}$y-2=0,可得∴P(2,0).M(cosα,-2+sinα),N(-sinα,-2+cosα).利用兩點(diǎn)之間距離公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及其三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出.

解答 解:(I)曲線C1的極坐標(biāo)方程為$ρcos({θ-\frac{π}{3}})=1$,
展開為:$ρ(\frac{1}{2}cosθ+\frac{\sqrt{3}}{2}sinθ)$=1,
化為直角坐標(biāo)方程:x+$\sqrt{3}$y-2=0.
(II)由方程:x+$\sqrt{3}$y-2=0,令y=0,解得x=2.
∴P(2,0).M(cosα,-2+sinα),N(-sinα,-2+cosα).
∴|PM|2+|PN|2=(cosα-2)2+(sinα-2)2+(sinα+2)2+(cosα-2)2=18-8cosα∈[10,26].

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、兩點(diǎn)之間距離公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及其三角函數(shù)的單調(diào)性,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

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13.若點(diǎn)M(x,y)為平面區(qū)域$\left\{\begin{array}{l}x+y≥2\\ x≤1\\ y≤2\end{array}\right.$上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則x-y的取值范圍是(  )
A.[-2,0]B.[-1,0]C.[-1,-2]D.[0,2]

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14.若α∈(0,$\frac{π}{2}$),且cos2α=$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$sin(α+$\frac{π}{4}$),則tanα=$\frac{1}{3}$.

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11.已知全集U=R,A={x|x2-3x-4>0},B={x|-2≤x≤2},則如圖所示的陰影部分所表示的集合為( 。
A.{x|-2≤x<4}B.{x|x≤2或x≥4}C.{x|-2≤x≤-1}D.{x|-1≤x≤2}

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18.已知A(-2,0),B(2,0)為橢圓C的左、右頂點(diǎn),F(xiàn)為其右焦點(diǎn),P是橢圓C上異于A,B的動(dòng)點(diǎn),且△APB面積的最大值為2$\sqrt{3}$
(1)求橢圓C的方程;
(2)直線AP與橢圓在點(diǎn)B處的切線交于點(diǎn)D,當(dāng)直線AP繞點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),試判斷以BD為直徑的圓與直線PF的位置關(guān)系,并加以證明.

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8.已知全集U={0,1,2,3,4},集合M={1,2,3},N={0,3,4},則(∁UM)∩N( 。
A.{0,4}B.{3,4}C.{1,2}D.

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15.(Ⅰ)若關(guān)于x的不等式|x+1|-|x-2|>|a-3|的解集是空集,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(Ⅱ)對(duì)任意正實(shí)數(shù)x,y,不等式$\sqrt{2x}$+$\sqrt{3y}$<k$\sqrt{8x+6y}$恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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2.某品牌汽車4S店對(duì)最近100位采用分期付款的購(gòu)車者進(jìn)行統(tǒng)計(jì),統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表所示:
付款方式分1期分2期分3期分4期分5期
頻數(shù)4020a10b
已知分3期付款的頻率為0.2,4S店經(jīng)銷一輛該品牌的汽車,顧客分1期付款,其利潤(rùn)為1萬元;分2期或3期付款,其利潤(rùn)為1.5萬元;分4期或5期付款,其利潤(rùn)為2萬元,用Y表示經(jīng)銷一輛汽車的利潤(rùn).
(1)求上表中a,b的值;
(2)若以頻率作為概率,求事件A:“購(gòu)買該品牌的3位顧客中,至多有一位采用分3期付款”的概率P(A);
(3)求Y的分布列及數(shù)學(xué)期望EY.

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A.20B.18C.16D.14

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