Question

3．橢圓滿足這樣的光學性質：從橢圓的一個焦點發(fā)射光線，經橢圓反射后，反射光線經過橢圓的另一個焦點．現在設有一個水平放置的橢圓形臺球盤，滿足方程：$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}$=1，點A，B是它的兩個焦點，當靜止的小球放在點A處，從A點沿直線出發(fā)，經橢圓壁反彈后，再回到點A時，小球經過的最長路程是（　�。�

• A． 20
• B． 18
• C． 16
• D． 14

Answer 1

分析 根據橢圓的光學性質可知，當靜止的小球放在點A處，從點A沿直線出發(fā)，射到左頂點，經橢圓壁反彈后，再回到點A時，小球經過的路程是2（a-c）；射到右頂點，經橢圓壁反彈后，再回到點A時，小球經過的路程是2（a+c）；小球從點A沿直線出發(fā)，經橢圓壁反彈到B點繼續(xù)前行碰橢圓壁后回到A點，所走的軌跡正好是兩次橢圓上的點到兩焦點距離之和4a，進而根據橢圓的定義可求得小球經過的最長路程．

解答 解：依題意可知$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}$=1中，a=4，b=3，c=$\sqrt{7}$，設A，B分別為左、右焦點，
則當靜止的小球放在點A處，從點A沿直線出發(fā)，射到左頂點，經橢圓壁反彈后，
再回到點A時，小球經過的路程是2（a-c）=2（2-$\sqrt{7}$）；
射到右頂點，經橢圓壁反彈后，再回到點A時，小球經過的路程是2（a+c）=2（2+$\sqrt{7}$）；
小球經兩次橢圓壁后反彈后回到A點，根據橢圓的性質可知所走的路程正好是4a=4×4=16，
小球經過的最長路程16，
故選C．

點評 本題主要考查了橢圓的應用．解題的關鍵是利用了橢圓的第一定義，屬于基礎題．