Question

13．在《九章算術》中有一個古典名題“兩鼠穿墻”問題：今有垣厚五尺，兩鼠對穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半，問何日相逢？大意是有厚墻五尺，兩只老鼠從墻的兩邊分別打洞穿墻．大老鼠第一天進一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也進一尺，以后每天減半，問幾天后兩鼠相遇？（　�。�

• A． 2$\frac{2}{17}$
• B． 2$\frac{3}{17}$
• C． 2$\frac{5}{17}$
• D． 2.25

Answer 1

分析 由于前兩天大鼠打1+2尺，小鼠打1+$\frac{1}{2}$尺，因此前兩天兩鼠共打3+1.5=4.5．第三天，大鼠打4尺，小鼠打$\frac{1}{4}$尺，因此第三天相遇．設第三天，大鼠打y尺，小鼠打0.5-y尺，則$\frac{y}{4}$=$\frac{0.5-y}{\frac{1}{4}}$，解得y即可得出．

解答 解：由于前兩天大鼠打1+2尺，小鼠打1+$\frac{1}{2}$尺，因此前兩天兩鼠共打3+1.5=4.5．
第三天，大鼠打4尺，小鼠打$\frac{1}{4}$尺，因此第三天相遇．
設第三天，大鼠打y尺，小鼠打0.5-y尺，
則$\frac{y}{4}$=$\frac{0.5-y}{\frac{1}{4}}$，解得y=$\frac{8}{17}$．
相見時大鼠打了1+2+$\frac{8}{17}$=3$\frac{8}{17}$尺長的洞，小鼠打了1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{34}$=1$\frac{9}{17}$尺長的洞，
x=2+$\frac{2}{17}$=2$\frac{2}{17}$天，
故選：A．

點評 本題考查了等差數列與等比數列的通項公式求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．