Question

【題目】直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，且，若，到軸距離的乘積為．

（1）求的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，當(dāng)面積最小時(shí)，求直線的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，由距離之積為16，可得.利用向量的數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算，將轉(zhuǎn)化為.再利用兩點(diǎn)均在拋物線上，即可求得p的值，從而求出拋物線的方程；

（2）設(shè)出直線l的方程，代入拋物線方程，由韋達(dá)定理發(fā)現(xiàn)直線l恒過定點(diǎn)，將面積用參數(shù)t表示，求出其最值，并得出此時(shí)的直線方程.

解：（1）由題設(shè)，

因?yàn)?/span>，到軸的距離的積為，所以，

又因?yàn)?/span>，，

，

所以拋物線的方程為．

（2）因?yàn)橹本�與拋物線兩個(gè)公共點(diǎn)，所以的斜率不為，

所以設(shè)

聯(lián)立，得，

即，，

即直線恒過定點(diǎn)，

所以，

當(dāng)時(shí)，面積取得最小值，此時(shí).