Question

【題目】已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前項(xiàng)和滿足；數(shù)列是等比數(shù)列，前項(xiàng)和為.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）已知等比數(shù)列滿足，，，求數(shù)列前項(xiàng)和為；

（3）若，且等比數(shù)列的公比，若存在，使得，試求的值.

Answer 1

【答案】（1），（2）（3）2

【解析】

（1）化為，由與關(guān)系，即可求出通項(xiàng)；

（2）由（1）得，將已知化為，即是關(guān)于函數(shù)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求的最值，求出，即可求解；

（3）由（1）（2），即為，求解關(guān)于的不定方程，構(gòu)造數(shù)列，判斷單調(diào)性，得出的可能值，驗(yàn)證，即可求解.

（1）數(shù)列前項(xiàng)和滿足,

即；，

；

，∵數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，

∴，又，∴，

（2）.∵等比數(shù)列滿足，，

∴，令，

，當(dāng)時(shí)，，

在單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；

∴，即，而，∴，

∴且此時(shí)，設(shè)等比數(shù)列的公比為，

，，所以數(shù)列前項(xiàng)和為

.

（3）由，得:，

正數(shù)數(shù)列公比的等比數(shù)列.∵，，

即:，即:，

設(shè)，，∵，時(shí)，

上式分子，

數(shù)列單調(diào)遞增

.∴時(shí)，與矛盾

.∴若時(shí)，(∵)

故，解得符合條件.