Question

18．在直角坐標系中，已知曲線C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ+sinθ}\\{y=cosθ-2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）與曲線L：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{10}-t}\\{y=t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）交于點Q．
（1）以原點O為極點，x軸正半軸為極軸，建立極坐標系，求Q點的極坐標；
（2）求曲線C關(guān)于直線L對稱的曲線C′的方程．

Answer 1

分析 （1）由曲線C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ+sinθ}\\{y=cosθ-2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），利用sin²θ+cos²θ=1可得x²+y²=5．曲線L：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{10}-t}\\{y=t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），相加即可化為普通方程，聯(lián)立即可解得Q，再利用互化公式即可得出極坐標．
（2）設原點O關(guān)于直線x+y=$\sqrt{10}$的對稱點O′（x，y），利用垂直平分線的性質(zhì)可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{2}+\frac{y}{2}=\sqrt{10}}\\{\frac{y}{x}=1}\end{array}\right.$，解得x，y即可得出．

解答 解：（1）由曲線C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ+sinθ}\\{y=cosθ-2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），可得x²+y²=4cos²θ+4sinθcosθ+sin²θ+cos²θ-4sinθcosθ+4sin²θ=5．
曲線L：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{10}-t}\\{y=t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），化為普通方程：x+y=$\sqrt{10}$．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x+y=\sqrt{10}}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=5}\end{array}\right.$，
解得x=$\frac{\sqrt{10}}{2}$=y，
∴Q$（\frac{\sqrt{10}}{2}，\frac{\sqrt{10}}{2}）$．
∴ρ=$\sqrt{5}$，tanθ=1，且θ∈$（0，\frac{π}{2}）$，∴θ=$\frac{π}{4}$．
∴Q的極坐標為：$（\sqrt{5}，\frac{π}{4}）$．
（2）設原點O關(guān)于直線x+y=$\sqrt{10}$的對稱點O′（x，y），則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{2}+\frac{y}{2}=\sqrt{10}}\\{\frac{y}{x}=1}\end{array}\right.$，
解得x=y=$\sqrt{10}$．
∴O′$（\sqrt{10}，\sqrt{10}）$．
∴曲線C關(guān)于直線L對稱的曲線C′的方程為$（x-\sqrt{10}）^{2}+（y-\sqrt{10}）^{2}$=5．

點評 本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、直線參數(shù)方程化為普通方程、垂直平分線的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．