Question

9．如圖，△PAD與正方形ABCD共用一邊AD，平面PAD⊥平面ABCD，其中PA=PD，AB=2，點(diǎn)E是棱PA的中點(diǎn)．
（1）求證：PC∥平面BDE；
（2）若直線PA與平面ABCD所成角為60°，求點(diǎn)A到平面BDE的距離．

Answer 1

分析 （1）連接AC，交BD于O，連接EO，證明PC∥OE，即可證明PC∥平面BDE；
（2）取AD的中點(diǎn)N，連接PN，證明∠PAN為直線PA與平面ABCD所成角，利用等體積方法求點(diǎn)A到平面BDE的距離．

解答 （1）證明：連接AC，交BD于O，連接EO，則
∵ABCD是正方形，
∴O是AC的中點(diǎn)，
∵點(diǎn)E是棱PA的中點(diǎn)，
∴PC∥OE，
∵OE?平面BDE，PC?平面BDE，
∴PC∥平面BDE；
（2）解：取AD的中點(diǎn)N，連接PN，則
∵PA=PD，
∴PN⊥AD，
∵平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PN⊥平面ABCD，
∴∠PAN為直線PA與平面ABCD所成角∴∠PAN=60°∴PA=PD=AD=2，
∵AB⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴AB⊥平面PAD，
∴V_B-DAE=$\frac{1}{3}×2×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
Rt△EAB中，EA=1，AB=2，BE=$\sqrt{5}$，
∵$ED=\sqrt{3}$，BD=2$\sqrt{2}$，
∴DE⊥EB，
∴S_△BDE=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\sqrt{5}$=$\frac{\sqrt{15}}{2}$．
設(shè)點(diǎn)A到平面BDE的距離為h．則$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{15}}{2}h=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴h=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴點(diǎn)A到平面BDE的距離為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的判定，考查空間角，考查三棱錐體積的計(jì)算，屬于中檔題．