Question

10．（Ⅰ）已知a＞0，b＞0，a+b=1，求證：$\frac{1}{a}+\frac{1}+\frac{1}{ab}≥8$；
（Ⅱ）解不等式：|x-1|+|x+2|≥5．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用“1”的代換，結(jié)合基本不等式，即可證明結(jié)論；（Ⅱ）通過(guò)討論各個(gè)區(qū)間上的x的范圍，求出不等式的解集即可．

解答 （Ⅰ）證明：∵a+b=1，a＞0，b＞0，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$+$\frac{1}{ab}$=$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$+$\frac{a+b}{ab}$=2（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$）=2（ $\frac{a+b}{a}$+$\frac{a+b}$）
=2（$\frac{a}$+$\frac{a}$）+4≥4+4=8，（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取等號(hào)），
∴$\frac{1}{a}+\frac{1}+\frac{1}{ab}≥8$；
（Ⅱ）解：x≥1時(shí)，x-1+x+2≥5，解得：x≥2，
-2＜x＜1時(shí)，1-x+x+2≥5，不成立，
x≤-2時(shí)，1-x-x-2≥5，解得：x≤-3，
綜上，不等式的解集為：（-∞，-3]∪[2，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，考查基本不等式的運(yùn)用以及解絕對(duì)值不等式問(wèn)題，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．