20.已知F1,F(xiàn)2是橢圓和雙曲線的公共焦點,P是它們的一個公共點,且∠F1PF2=$\frac{π}{4}$,則橢圓和雙曲線的離心率乘積的最小值為(  )
A.$\frac{1}{2}$B.$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$C.1D.$\sqrt{2}$

分析 設橢圓的長半軸長為a1,雙曲線的半實軸長a2,焦距2c.由橢圓及雙曲線定義用a1,a2表示出|PF1|,|PF2|,在△F1PF2中根據(jù)余弦定理可得到a1,a2與c的關系,轉化為離心率,再由基本不等式得結論.

解答 解:如圖,設橢圓的長半軸長為a1,雙曲線的半實軸長為a2,則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義:
|PF1|+|PF2|=2a1,|PF1|-|PF2|=2a2,
∴|PF1|=a1+a2,|PF2|=a1-a2,
設|F1F2|=2c,∠F1PF2=$\frac{π}{4}$,則:
在△PF1F2中由余弦定理得,
4c2=(a1+a22+(a1-a22-2(a1+a2)(a1-a2)cos$\frac{π}{4}$,
化簡得:($2-\sqrt{2}$)a12+($2+\sqrt{2}$)a22=4c2,
即$\frac{2-\sqrt{2}}{{{e}_{1}}^{2}}+\frac{2+\sqrt{2}}{{{e}_{2}}^{2}}=4$,
又∵$\frac{2-\sqrt{2}}{{{e}_{1}}^{2}}+\frac{2+\sqrt{2}}{{{e}_{2}}^{2}}≥\frac{2\sqrt{{2}^{2}-2}}{{e}_{1}•{e}_{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{{e}_{1}•{e}_{2}}$,
∴$\frac{2\sqrt{2}}{{e}_{1}•{e}_{2}}≤4$,即e1•e2≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
即橢圓和雙曲線的離心率乘積的最小值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$.
故選:B.

點評 本題考查圓錐曲線的共同特征,考查通過橢圓與雙曲線的定義求焦點三角形三邊長,解決本題的關鍵是根據(jù)所得出的條件靈活變形,求出焦點三角形的邊長來,是中檔題.

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