分析 (1)將點(diǎn)代入橢圓方程,即可求得a和b的值,即可求得橢圓方程;
(2)分類討論,求得C點(diǎn)坐標(biāo),設(shè)直線BC的方程,即可求得點(diǎn)B的坐標(biāo);
(3)設(shè)直線AB的方程,代入橢圓方程,即可求得B點(diǎn)坐標(biāo),分別求得BF2及CF1方程,聯(lián)立,求得C點(diǎn)坐標(biāo),代入橢圓方程,即可求得k的值.
解答 解:(1)由題意得a=2,將(-1,32)代入橢圓方程14+942=1,解得:b=√3,
∴橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程:x24+y23=1; …(4分)
(2)由△CF1F2為等腰三角形,且k>0,則點(diǎn)C在x軸下方,
1° 若丨F1C丨=丨F2C丨,則C(0,-√3);
2° 若丨F1F2丨=丨CF2丨,則丨CF2丨=2,C(0,-√3);
3° 若丨F1C丨=丨F1F2丨,則丨CF1丨=2,C(0,-√3);
∴C(0,-√3);
∴直線BC的方程y=√3(x-1),
由{y=√3(x−1)x24+y23=1,得{x=0y=−√3或{x=85y=3√35,
∴B(85,3√35);(不討論扣2分) …(9分)
(3)設(shè)直線AB的方程lAB:y=k(x+2),
由{y=k(x+2)x24+y23=1,整理得:(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0,
∴xA•xB=-2xB=16k2−123+4k2,xB=−8k2+63+4k2,
yB=k(xB+2)=12k3+4k2,B(−8k2+63+4k2,12k3+4k2 ) …(11分)
若k=12,則B(1,32),C(1,-32),
由F1(-1,0),則kCF1=-34,F(xiàn)1C與AB不垂直;
∴k≠12,
由F2(1,0),kBF1=4k1−4k2,kCF1=-1k,
∴直線BF2的方程lBF2:y=4k1−4k2(x−1),直線CF1的方程:lCF1:y=−1k(x+1)
由{y=4k1−4k2(x−1)y=−1k(x+1),解得{x=8k2−1y=−8k,
∴C(8k2-1,-8k)…(13分)
又點(diǎn)C在橢圓上得(8k2−1)24+(−8k)23=1,即(24k2-1)(8k2+9)=0,即k2=124,∵k>0,
∴k=√612..…(16分)
點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與橢圓的位置關(guān)系,考查韋達(dá)定理,直線的斜率公式,考查分類討論,考查計(jì)算能力,屬于中檔題.
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A. | \frac{1}{2} | B. | \frac{{\sqrt{2}}}{2} | C. | 1 | D. | \sqrt{2} |
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A. | (-2,5] | B. | [-2,5] | C. | (2,5] | D. | [2,5] |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | 既有極大值又有極小值 | B. | 有極大值無(wú)極小值 | ||
C. | 既無(wú)極大值又無(wú)極小值 | D. | 有極小值無(wú)極大值 |
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