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15.如圖,已知橢圓E:x2a2+y22=1(a>b>0)的左頂點(diǎn)A(-2,0),且點(diǎn)(-1,32)在橢圓上,F(xiàn)1、F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn).過(guò)點(diǎn)A作斜率為k(k>0)的直線交橢圓E于另一點(diǎn)B,直線BF2交橢圓E于點(diǎn)C.
(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若△CF1F2為等腰三角形,求點(diǎn)B的坐標(biāo);
(3)若F1C⊥AB,求k的值.

分析 (1)將點(diǎn)代入橢圓方程,即可求得a和b的值,即可求得橢圓方程;
(2)分類討論,求得C點(diǎn)坐標(biāo),設(shè)直線BC的方程,即可求得點(diǎn)B的坐標(biāo);
(3)設(shè)直線AB的方程,代入橢圓方程,即可求得B點(diǎn)坐標(biāo),分別求得BF2及CF1方程,聯(lián)立,求得C點(diǎn)坐標(biāo),代入橢圓方程,即可求得k的值.

解答 解:(1)由題意得a=2,將(-1,32)代入橢圓方程14+942=1,解得:b=3
∴橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程:x24+y23=1;     …(4分)
(2)由△CF1F2為等腰三角形,且k>0,則點(diǎn)C在x軸下方,
1° 若丨F1C丨=丨F2C丨,則C(0,-3);
2° 若丨F1F2丨=丨CF2丨,則丨CF2丨=2,C(0,-3);
3° 若丨F1C丨=丨F1F2丨,則丨CF1丨=2,C(0,-3);
∴C(0,-3);
∴直線BC的方程y=3(x-1),
{y=3x1x24+y23=1,得{x=0y=3{x=85y=335,
∴B(85,335);(不討論扣2分)                             …(9分)
(3)設(shè)直線AB的方程lAB:y=k(x+2),
{y=kx+2x24+y23=1,整理得:(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0,
∴xA•xB=-2xB=16k2123+4k2,xB=8k2+63+4k2,
yB=k(xB+2)=12k3+4k2,B(8k2+63+4k2,12k3+4k2 )             …(11分)
若k=12,則B(1,32),C(1,-32),
由F1(-1,0),則kCF1=-34,F(xiàn)1C與AB不垂直;
k12
由F2(1,0),kBF1=4k14k2,kCF1=-1k,
∴直線BF2的方程lBF2y=4k14k2x1,直線CF1的方程:lCF1y=1kx+1
{y=4k14k2x1y=1kx+1,解得{x=8k21y=8k,
∴C(8k2-1,-8k)…(13分)
又點(diǎn)C在橢圓上得8k2124+8k23=1,即(24k2-1)(8k2+9)=0,即k2=124,∵k>0,
k=612..…(16分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與橢圓的位置關(guān)系,考查韋達(dá)定理,直線的斜率公式,考查分類討論,考查計(jì)算能力,屬于中檔題.

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