Question

15．如圖，已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左頂點(diǎn)A（-2，0），且點(diǎn)（-1，$\frac{3}{2}$）在橢圓上，F(xiàn)₁、F₂分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)．過點(diǎn)A作斜率為k（k＞0）的直線交橢圓E于另一點(diǎn)B，直線BF₂交橢圓E于點(diǎn)C．
（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若△CF₁F₂為等腰三角形，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（3）若F₁C⊥AB，求k的值．
．

Answer 1

分析 （1）將點(diǎn)代入橢圓方程，即可求得a和b的值，即可求得橢圓方程；
（2）分類討論，求得C點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)直線BC的方程，即可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（3）設(shè)直線AB的方程，代入橢圓方程，即可求得B點(diǎn)坐標(biāo)，分別求得BF₂及CF₁方程，聯(lián)立，求得C點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程，即可求得k的值．

解答 解：（1）由題意得a=2，將（-1，$\frac{3}{2}$）代入橢圓方程$\frac{1}{4}+\frac{9}{4^{2}}=1$，解得：b=$\sqrt{3}$，
∴橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；     …（4分）
（2）由△CF₁F₂為等腰三角形，且k＞0，則點(diǎn)C在x軸下方，
1° 若丨F₁C丨=丨F₂C丨，則C（0，-$\sqrt{3}$）；
2° 若丨F₁F₂丨=丨CF₂丨，則丨CF₂丨=2，C（0，-$\sqrt{3}$）；
3° 若丨F₁C丨=丨F₁F₂丨，則丨CF₁丨=2，C（0，-$\sqrt{3}$）；
∴C（0，-$\sqrt{3}$）；
∴直線BC的方程y=$\sqrt{3}$（x-1），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-\sqrt{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{8}{5}}\\{y=\frac{3\sqrt{3}}{5}}\end{array}\right.$，
∴B（$\frac{8}{5}$，$\frac{3\sqrt{3}}{5}$）；（不討論扣2分）                             …（9分）
（3）設(shè)直線AB的方程l_AB：y=k（x+2），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，整理得：（3+4k²）x²+16k²x+16k²-12=0，
∴x_A•x_B=-2x_B=$\frac{16{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，x_B=$\frac{-8{k}^{2}+6}{3+4{k}^{2}}$，
y_B=k（x_B+2）=$\frac{12k}{3+4{k}^{2}}$，B（$\frac{-8{k}^{2}+6}{3+4{k}^{2}}$，$\frac{12k}{3+4{k}^{2}}$ ）             …（11分）
若k=$\frac{1}{2}$，則B（1，$\frac{3}{2}$），C（1，-$\frac{3}{2}$），
由F₁（-1，0），則${k}_{C{F}_{1}}$=-$\frac{3}{4}$，F(xiàn)₁C與AB不垂直；
∴$k≠\frac{1}{2}$，
由F₂（1，0），${k}_{B{F}_{1}}$=$\frac{4k}{1-4{k}^{2}}$，${k}_{C{F}_{1}}$=-$\frac{1}{k}$，
∴直線BF₂的方程${l_{B{F_2}}}：y=\frac{4k}{{1-4{k^2}}}（x-1）$，直線CF₁的方程：${l_{C{F_1}}}：y=-\frac{1}{k}（x+1）$
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4k}{1-4{k}^{2}}（x-1）}\\{y=-\frac{1}{k}（x+1）}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=8{k^2}-1\\ y=-8k\end{array}\right.$，
∴C（8k²-1，-8k）…（13分）
又點(diǎn)C在橢圓上得$\frac{{{{（8{k^2}-1）}^2}}}{4}+\frac{{{{（-8k）}^2}}}{3}=1$，即（24k²-1）（8k²+9）=0，即${k^2}=\frac{1}{24}$，∵k＞0，
∴$k=\frac{{\sqrt{6}}}{12}$..…（16分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，直線的斜率公式，考查分類討論，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．