Question

12．已知|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow$|=3，（2$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow$）•（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=61．
（1）求向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角θ；    
（2）求|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$|．

Answer 1

分析 （1）先求出$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=-6，再根據(jù)夾角公式計算即可，
（2）先平方，再根據(jù)向量的數(shù)量積運算即可．

解答 解：（1）∵|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow$|=3，（2$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow$）•（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=61，
∴4|$\overrightarrow{a}$|²-4$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$-3|$\overrightarrow$|²=61，
即64-4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-27=61，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=-6，
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|}$=$\frac{-6}{4×3}$=-$\frac{1}{2}$，
∴θ=120°，
（2）|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$|²=|$\overrightarrow{a}$|²+4$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$+4|$\overrightarrow$|²=16-24+36=28，
∴|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$|²=2$\sqrt{7}$

點評 本題考查向量的數(shù)量積的運算，向量的夾角公式，向量的模，考查計算能力，屬于基礎題