Question

17．某市每年中考都要舉行實(shí)驗(yàn)操作考試和體能測(cè)試，初三（1）班共有30名學(xué)生，如圖表格為該班學(xué)生的這兩項(xiàng)成績(jī)，表中實(shí)驗(yàn)操作考試和體能測(cè)試都為優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)為6人．由于部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，只知道從這班30人中隨機(jī)抽取一個(gè)，實(shí)驗(yàn)操作成績(jī)合格，且體能測(cè)試成績(jī)合格或合格以上的概率是$\frac{1}{6}$．

		實(shí)驗(yàn)操作
		不合格	合格	良好	優(yōu)秀
體能測(cè)試	不合格	0	1	1	1
	合格	0	2	1	b
	良好	1	a	2	4
	優(yōu)秀	1	1	3	6

（Ⅰ）試確定a，b的值；
（Ⅱ）從30人中任意抽取3人，設(shè)實(shí)驗(yàn)操作考試和體能測(cè)試成績(jī)都是良好或優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由表格數(shù)據(jù)可知，實(shí)驗(yàn)操作成績(jī)合格、且體能測(cè)試成績(jī)合格或合格以上的學(xué)生共有（3+a）人，記“實(shí)驗(yàn)操作成績(jī)合格、且體能測(cè)試成績(jī)合格或合格以上”為事件A，利用概率求出a，推出b．
（Ⅱ）推出X的可能取值為0，1，2，3，求出概率，得到分布列，然后求解期望即可．

解答 解：（Ⅰ）由表格數(shù)據(jù)可知，實(shí)驗(yàn)操作成績(jī)合格、且體能測(cè)試成績(jī)合格或合格以上的學(xué)生共有（3+a）人，記“實(shí)驗(yàn)操作成績(jī)合格、且體能測(cè)試成績(jī)合格或合格以上”為事件A，則$P（A）=\frac{3+a}{30}=\frac{1}{6}$，解得a=2，
所以b=30-24-a=4．
答：a的值為2，b的值為4．
（Ⅱ）由于從30位學(xué)生中任意抽取3位的結(jié)果數(shù)為$C_{30}^3$，其中實(shí)驗(yàn)操作考試和體能測(cè)試成績(jī)都是良好或優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)為15人，從30人中任意抽取3人，其中恰有k個(gè)實(shí)驗(yàn)操作考試和體能測(cè)試成績(jī)都是良好或優(yōu)秀的結(jié)果數(shù)為$C_{15}^kC_{15}^{3-k}$，所以從30人中任意抽取3人，其中恰有k人實(shí)驗(yàn)操作考試和體能測(cè)試成績(jī)都是良好或優(yōu)秀的概率為$P（X=k）=\frac{{C_{15}^kC_{15}^{3-k}}}{{C_{30}^3}}$，（k=0，1，2，3），X的可能取值為0，1，2，3，
則$P（X=0）=\frac{{C_{15}^0C_{15}^3}}{{C_{30}^3}}=\frac{13}{116}$，$P（X=1）=\frac{{C_{15}^1C_{15}^2}}{{C_{30}^3}}=\frac{45}{116}$，$P（X=2）=\frac{{C_{15}^2C_{15}^1}}{{C_{30}^3}}=\frac{45}{116}$，$P（X=3）=\frac{{C_{15}^3C_{15}^0}}{{C_{30}^3}}=\frac{13}{116}$，
所以X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{13}{116}$	$\frac{45}{116}$	$\frac{45}{116}$	$\frac{13}{116}$

$E（X）=0×\frac{13}{116}+1×\frac{45}{116}+2×\frac{45}{116}+3×\frac{13}{116}=\frac{174}{116}=\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查離散性隨機(jī)變量的分布列以及期望的求法，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．